Меню Рубрики

Как избавиться от минуса под корнем

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

У вас тоже так? Читайте дальше — и всё поймёте

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)

Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.

Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:

Вот в этом грёбаном «несколько отличается» скрыто, наверное, 95% всех ошибок и недопонимания, связанного с корнями. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:

Определение. из числа $a$ — это любое неотрицательное число $b$ такое, что $<^>=a$. А из того же числа $a$ — это вообще любое число $b$, для которого выполняется всё то же равенство: $<^>=a$.

В любом случае корень обозначается вот так:

Число $n$ в такой записи называется , а число $a$ — . В частности, при $n=2$ получим наш «любимый» квадратный корень (кстати, это корень чётной степени), а при $n=3$ — кубический (степень нечётная), который тоже часто встречается в задачах и уравнениях.

Примеры. Классические примеры квадратных корней:

Кстати, $\sqrt<0>=0$, а $\sqrt<1>=1$. Это вполне логично, поскольку $<<0>^<2>>=0$ и $<<1>^<2>>=1$.

Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:

Ну, и парочка «экзотических примеров»:

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

Ну и так далее. Ладно, ладно: последние две строчки я считал на калькуляторе.:)

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

\[5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625\]

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

\[5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=<<5>^<6>>=15\ 625\]

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Потому что выяснилось, что для большинства «готовых» степеней таких «исходных» чисел нет. Судите сами:

А, что если $<^<3>>=50$? Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам 50. Но что это за число? Оно явно больше 3, поскольку 3 3 = 27 3 = 64 > 50. Т.е. это число лежит где-то между тройкой и четвёркой, но чему оно равно — фиг поймёшь.

Именно для этого математики и придумали корни $n$-й степени. Именно для этого ввели значок радикала $\sqrt<*>$. Чтобы обозначить то самое число $b$, которое в указанной степени даст нам заранее известную величину

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt<2>$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

\[\sqrt<2>=1,4142. \approx 1,4 \lt 1,5\]

\[\sqrt<3>=1,73205. \approx 1,7 \gt 1,5\]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac

$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Поэтому гораздо правильнее записать ответы в виде $\sqrt<5>$ и $\sqrt[3]<-2>$.

Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы.

Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.

Почему так происходит? Взгляните на график функции $y=<^<2>>$:

График квадратичной функции даёт два корня: положительный и отрицательный

Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt<4>$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:$<_<1>>=2$ и $<_<2>>=-2$. Это вполне логично, поскольку

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt<4>=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y, т.е. не принимает отрицательных значений.

Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем:

  1. Строго говоря, корней с чётным показателем $n$ у каждого положительного числа будет сразу две штуки;
  2. Из отрицательных чисел корень с чётным $n$ вообще не извлекается.

Именно поэтому в определении корня чётной степени $n$ специально оговаривается, что ответ должен быть неотрицательным числом. Так мы избавляемся от неоднозначности.

Зато для нечётных $n$ такой проблемы нет. Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на график функции $y=<^<3>>$:

Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа

Из этого графика можно сделать два вывода:

  1. Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
  2. Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

  1. Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
  2. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:

Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль. Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:

Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:

  1. Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
  2. И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.

Раберёмся с первым выражением: $\sqrt[4]<<<3>^<4>>>$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:

Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:

Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:

\[<<\left( -3 \right)>^<4>>=\left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)\cdot \left( -3 \right)=81\]

Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:

В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:

Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.

Определение. из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что $<^>=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Область поиска арифметического корня — неотрицательные числа

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:

Обратите внимание: мы можем возвести подкоренное выражение в любую степень и одновременно умножить на эту же степень показатель корня — и в результате получится то же самое число! Вот примеры:

Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? А вот почему. Рассмотрим простое выражение: $\sqrt[3]<-2>$ — это число вполне нормальное в нашем классическом понимании, но абсолютно недопустимо с точки зрения арифметического корня. Попробуем преобразовать его:

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.

Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.

Определение. из числа любого $a$ — это множество всех чисел $b$ таких, что $<^>=a$. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху:

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

  1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
  2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
  3. Наконец, множество может включать два числа — те самые $<_<1>>$ и $<_<2>>=-<_<1>>$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Решение. С первым выражением всё просто:

Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.

Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.

Наконец, последнее выражение:

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt[4]<-16>$, и многие другие странные вещи.

Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».

На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)

источник

При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 1 2 , — 2 x + 3 , x + y x — 2 · x · y + 1 , 11 7 — 5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 3 4 3 , 1 x + x · y 4 + y . Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 1 2 к 2 2 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием. Приведем еще один пример: у нас есть дробь x x — y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x · x + y x — y , освободившись от иррациональности в знаменателе.

После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9 . Вычислив 9 , мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.

Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1 x + 1 на x + 1 , мы получим дробь x + 1 x + 1 · x + 1 и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x + 1 . Так мы преобразовали 1 x + 1 в x + 1 x + 1 , избавившись от иррациональности.

Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

Условие: освободите дробь 1 2 · 18 + 50 от иррациональности в знаменателе.

Для начала раскроем скобки и получим выражение 1 2 · 18 + 2 · 50 . Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 1 2 · 18 + 2 · 50 . Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 1 36 + 100 . Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 1 6 + 10 , равная 1 16 . На этом преобразования можно закончить.

Запишем ход всего решения без комментариев:

1 2 · 18 + 50 = 1 2 · 18 + 2 · 50 = = 1 2 · 18 + 2 · 50 = 1 36 + 100 = 1 6 + 10 = 1 16

Ответ: 1 2 · 18 + 50 = 1 16 .

Условие: дана дробь 7 — x ( x + 1 ) 2 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение A n n на | A | на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7 — x x + 1 2 = 7 — x x + 1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: 7 — x x + 1 2 = 7 — x x + 1 .

Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A . Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0 . После умножения в знаменателе окажется выражение вида A · A , которое легко избавить от корней: A · A = A 2 = A . Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

Условие: даны дроби x 3 и — 1 x 2 + y — 4 . Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3 . Получим следующее:

x 3 = x · 3 3 · 3 = x · 3 3 2 = x · 3 3

Во втором случае нам надо выполнить умножение на x 2 + y — 4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

— 1 x 2 + y — 4 = — 1 · x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 · x 2 + y — 4 = = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 2 = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4

Ответ: x 3 = x · 3 3 и — 1 x 2 + y — 4 = — x 2 + y — 4 x 2 + y — 4 .

Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида A n m или A m n (при условии натуральных m и n ), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в A n n · k или A n · k n (при натуральном k ). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

Условие: даны дроби 7 6 3 5 и x x 2 + 1 4 15 . Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5 , нам надо выполнить умножение на 6 2 5 . Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 6 2 5 :

7 6 3 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 5 = 7 · 6 2 5 6 3 5 · 6 2 = 7 · 6 2 5 6 5 5 = = 7 · 6 2 5 6 = 7 · 36 5 6

Во втором случае нам потребуется число, большее 15 , которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16 . Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x 2 + 1 4 . Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:

x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 15 · x 2 + 1 4 = = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 16 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 4 4 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4

Ответ: 7 6 3 5 = 7 · 36 5 6 и x x 2 + 1 4 15 = x · x 2 + 1 4 x 2 + 1 4 .

Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a + b , a — b , a + b , a — b , a + b , a — b . В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

Для первого выражения a + b сопряженным будет a — b , для второго a — b – a + b . Для a + b – a — b , для a — b – a + b , для a + b – a — b , а для a — b – a + b . Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a — b · a + b . Оно может быть заменено разностью квадратов a — b · a + b = a 2 — b 2 , после чего мы переходим к выражению a − b , лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 3 7 — 3 и x — 5 — 2 .

В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7 + 3 . Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

3 7 — 3 = 3 · 7 + 3 7 — 3 · 7 + 3 = 3 · 7 + 3 7 2 — 3 2 = = 3 · 7 + 3 7 — 9 = 3 · 7 + 3 — 2 = — 3 · 7 + 3 2

Во втором случае нам понадобится выражение — 5 + 2 , которое является сопряженным выражению — 5 — 2 . Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

x — 5 — 2 = x · — 5 + 2 — 5 — 2 · — 5 + 2 = = x · — 5 + 2 — 5 2 — 2 2 = x · — 5 + 2 5 — 2 = x · 2 — 5 3

Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

x — 5 — 2 = — x 5 + 2 = — x · 5 — 2 5 + 2 · 5 — 2 = = — x · 5 — 2 5 2 — 2 2 = — x · 5 — 2 5 — 2 = — x · 5 — 2 3 = = x · 2 — 5 3

Ответ: 3 7 — 3 = — 3 · 7 + 3 2 и x — 5 — 2 = x · 2 — 5 3 .

Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

Условие: дана дробь x x + 4 . Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x . Она определена условиями x ≥ 0 и x + 4 ≠ 0 . Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x ≥ 0 .

Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x — 4 . Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x — 4 ≠ 0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

x x + 4 = x · x — 4 x + 4 · x — 4 = = x · x — 4 x 2 — 4 2 = x · x — 4 x — 16

Если x будет равен 16 , то мы получим:

x x + 4 = 16 16 + 4 = 16 4 + 4 = 2

Следовательно, x x + 4 = x · x — 4 x — 16 при всех значениях x , принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16 . При x = 16 получим x x + 4 = 2 .

Ответ: x x + 4 = x · x — 4 x — 16 , x ∈ [ 0 , 16 ) ∪ ( 16 , + ∞ ) 2 , x = 16 .

Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a 3 − b 3 = ( a − b ) · ( a 2 + a · b + b 2 ) . Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A 3 — B 3 , A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 . и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A 3 2 + A 3 · B 3 + B 3 2 или разность A 3 — B 3 . Точно также можно применить и формулу суммы a 3 + b 3 = ( а ) · ( a 2 − a · b + b 2 ) .

Условие: преобразуйте дроби 1 7 3 — 2 3 и 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 7 3 и 2 3 , поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

1 7 3 — 2 3 = 1 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 — 2 3 · 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 = = 7 3 2 + 7 3 · 2 3 + 2 3 2 7 3 3 — 2 3 3 = 7 2 3 + 7 · 2 3 + 2 2 3 7 — 2 = = 49 3 + 14 3 + 4 3 5

Во второй дроби представим знаменатель как 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 . В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x 3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2 + x 3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2 + x 3 ≠ 0 , равносильное x 3 ≠ — 2 и x ≠ − 8 :

3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 3 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 = = 3 · 2 + x 3 2 2 — 2 · x 3 + x 3 2 · 2 + x 3 = 6 + 3 · x 3 2 3 + x 3 3 = = 6 + 3 · x 3 8 + x

Подставим в дробь — 8 и найдем значение:

3 4 — 2 · 8 3 + 8 2 3 = 3 4 — 2 · 2 + 4 = 3 4

Подведем итоги. При всех x , входящих в область значений исходной дроби (множество R ), за исключением — 8 , мы получим 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x . Если x = 8 , то 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 3 4 .

Ответ: 3 4 — 2 · x 3 + x 2 3 = 6 + 3 · x 3 8 + x , x ≠ 8 3 4 , x = — 8 .

Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

Условие: преобразуйте 5 7 4 — 2 4 , чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 7 4 + 2 4 с ненулевым значением. Получим следующее:

5 7 4 — 2 4 = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 — 2 4 · 7 4 + 2 4 = = 5 · 7 4 + 2 4 7 4 2 — 2 4 2 = 5 · 7 4 + 2 4 7 — 2

А теперь применим тот же способ еще раз:

5 · 7 4 + 2 4 7 — 2 = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 — 2 · 7 + 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 7 2 — 2 2 = 5 · 7 4 + 7 4 · 7 + 2 7 — 2 = = 5 · 7 4 + 2 4 · 7 + 2 5 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2

Ответ: 5 7 4 — 2 4 = 7 4 + 2 4 · 7 + 2 .

Решение иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

(1)

(2)

В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1 . Решим уравнение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

, ,

Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

=0″ title=»g(x)>=0″/> — это условие существования корней.

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

=0″ title=»f(x)>=0″/> (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:

=0> >> » title=»delim > =0> >> «/>

Пример 2 . Решим уравнение:

.

Перейдем к равносильной системе:

=0> >> » title=»delim ^2> =0> >> «/>

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

,

Неравеству =0″ title=»1-x>=0″/> удовлетворяет только корень

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

,

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При получаем верное равенство.

Ответ:

Образование пней на огороде связано с тем, что деревья естественным путем отмирают. И хорошо, когда на участке один незаметный пень, который не особо нарушается эстетичность участка. Но когда их несколько, то огородник начинает задумываться о том, как можно избавиться от проблемы. А сделать это сегодня вполне реально быстро и эффективно. Существует немало эффективных методов, воспользоваться которыми под силу каждому.

очень часто люди желает заполнить приусадебный участок новыми деревьями. Но тут у них на пути стоит такая преграда, как старые пни. Еще необходимость в уборке пня связана с тем, что дерево находится в аварийном состоянии. Коме этого, пень является настоящей преградой для создания ландшафтной композиции. Все приведенные ситуации требуют немедленного удаления пня с огорода. Возможно вам также будет интеерсно узнать о том, как избавиться от луковой мухи на огороде.

На видео – вред от пней и корней на участке:

Сегодня удалить корни, которые остались после дерева, можно химическими, механическими способами.

Этот метод можно отнести к универсальным. Его очень часто используют садоводы при борьбе с пнями на своем участке. Суть метода в том, что древесные остатки необходимо сжигать, но только перед этим их пропитать сильным окислителем – селитрой. Также можно использовать селитру при уничтожении сныти на дачном участке.

Благодаря этому уникальному средств удается сжечь пень, причем сделать это можно не только с надземной частью, но с корнями. Перед тем как провести манипуляцию, необходимо выполнить ряд подготовительных мероприятий:

  1. В дереве просверлить как можно большое отверстие, используя максимально толстые сверла. Такие действия проводить в конце лета или в начале осени.
  2. В выполненное отверстие поместить селитру до верха. Для этих целей можно задействовать как калийный, так и натриевый состав. После этого селитру полить водой. Это позволит добиться лучшей пропитки древесины.
  3. Верх отверстия прикрыть уже заранее подготовленными деревянными пробками. Еще можно воспользоваться полиэтиленовой пленкой, которую плотно перевязать по древесному стволу.

Каждый садовод встречался с такой проблемой на своём участке, как одуванчик, а вот как избавиться от одуванчиков на участке поможет понять данная информация.

На видео – удаление корней селитрой:

Подготовленный пень оставить в таком виде до следующего лета. За весь период времени его корневая система будет питаться селитрой и высыхать. Около пня необходимо развести огонь. Он должен гореть до полного разрушения остатков дерева.

Возможно вам также будет полезно узнать о том, как бороться с вьюнком полевым на огороде.

Когда верхний срез пня сосредоточен на одном уровне с грунтом, то в нем стоит выполнить дополнительные отверстия. Туда залить керосин или бензин.

Эту горючую смесь поджечь, чтобы горение поддерживалось по всему объему. Как только корни полностью выгорели, то место, на котором произрастал пенек, перекопать и забросать почвой.

Этот способ отличается своей трудоемкостью. Его реально выполнить только при условии неглубокого расположения корней и средних размеров самого ствола. Для выполнения этой операции необходимо:

  1. Около пня выполнить траншею. Ее глубина будет составлять 1 м.
  2. Используя лопату штыкового типа и топор, нужно удалить все боковые ветки корневой системы.
  3. При помощи лома, который необходимо внести под пенек, выполняется расшатывание его из одной стороны в другую.
  4. Кроме этого, необходимо лопатой постоянно подрезать оголяющиеся нижние отростки корневой системы.
  5. Как только корневые ответвления были удалены, то остатки ствола становятся свободными и извлекаются из углубления.

Также стоит больше узнать о том, как избавиться от хмеля на участке, и какие средства самые эффективные.

На видео – выкапывание и корчевание корней:

Еще на участке корчевание можно выполнять при помощи специальной техники. Когда диаметр ствола менее 30 см, то для его удаления необходимо использовать трос. Его подцепить за пенек и при помощи трактора создать тяговое усилие. Используя этот метод, спиливание дерева выполняется очень высоко – не менее 1 м над уровнем земли. При этом трос будет прочно зафиксирован на нижнем остатке пня.

Если техника не может подъехать к пню, то можно воспользоваться мини-трактором или лебедкой. Но тогда обрубание нужно производить более крупных боковых отростков. Делать это на глубину 30 см. А самым удачным будет вариант обкопки около ствола на уровень 0,5 м. Ещё одной проблемой на садовом участке является клен, и какими химикатами можно от него избавиться указано здесь.

Для устранения пня необходимо использовать специальные устройства, при помощи которых можно измельчить дерево. Чаще всего задействуют лесные фрезы. При помощи такой фрезы удается за одни заход измельчить древесину на глубину до 30 см.

Основным минусом такого метода остается высокая стоимость аппарата. Кроме этого, нецелесообразно покупать фрезы и инструмент для единичного удаления пня.Возможно вам также будет полезно узнать о том, как избавиться от осота на участке навсегда, а для этого стоит перейти по ссылке.

На видео – использование специального оборудования:

Это еще один вариант химического удаления пней на участке. Дело в том, что соль – это самый простой катализатор процесса. Причем использовать стоит именно поваренную соль.

Необходимо в пне выполнить углубление глубиной 8 см и диаметром 10-15 мм. Чем больше будет таких отверстий, тем только лучше. В выполненные лунки насыпать соль, а сверху притрусить землей. Результатом такой обработки станет полное разрушение остатков дерева. Но наблюдать это можно будет только через год. Очень интересным вопросом является борьба с мокрицей на садовом участке, а вот как проводятся все работы по её уничтожению изложено в статье по ссылке.

Этот метод идентичен тому, где нужно было использовать селитру или соль. Для начало в пне выполнить сверлами отверстия. В полученные углубления отправить мочевину. Верх полить водой, а затем укутать пень полиэтиленом. Через 1-2 года можно будет убрать остатки перегнившего пня, а на этом месте рассыпать плодородный грунт.

Чтобы поместить 1 кг мочевины, необходимо будет выполнить примерно 30 отверстия. При этом их диаметр должен быть около 1 см, а глубина 30 см. Расход мочевины на удаление пня среднего размера осуществляется по аналогии с селитрой. А вот как вывести крапиву с участка, и какие химикаты стоит использовать. поможет понять данная информация.

К достоинствам такого метода стоит отнести:

  • минимум физической работы;
  • почва не насыщается нитратами;
  • полное удаление пня, благодаря чему участок можно использовать для последующей застройки, выполнения клумбы или сада.

Есть у этого метода свои минусы:

  • продолжительный срок уничтожения пня;
  • нужно покупать дополнительные материалы;
  • большой расход химикатов.

Стоит перейти по ссылке и узнать о том, как избавиться от лопуха на участке, и какими средствами это сделать быстрее всего.

Удалять пни у себя на участке не так и просто. Это достаточно кропотливое дело, но все-таки выполняемое. Кроме этого, каждый огородник сможет сам определить для себя подходящий вариант, принимая во внимание размер пня и свои возможности. Если вам некуда спешить, то стоит воспользоваться химическими методами. Если же удаление пней – дело неотложное, то придется потратить деньги на покупку специальной техники или инструментов.

В какой-то момент вопросом о том, как выкорчевать деревья и пни на участке, задается каждый садовод или владелец приусадебного участка. Выкорчевывание деревьев — задача не из легких, и выбор способа удаления корней зависит от каждого конкретного случая.

Удалить пень с участка можно разными способами:

Рассмотрим все по порядку.

Это, пожалуй, самый быстрый способ. Ковшом экскаватора пень поддевается и выковыривается из земли. В случае с деревом его остов обвязывается тросом и с помощью трактора выдергивается.

Быстрота такого метода – это, пожалуй, единственный плюс. Минусов гораздо больше:

  • нанимать технику довольно дорого;
  • не на каждый участок можно загнать настолько большие и тяжелые машины;
  • при использовании тяжелой техники на участке верхний слой почвы сильно повреждается, на восстановление ландшафта потребуется много времени, сил и средств. Стоит ли из-за одного пня так тратиться?

Такой метод хорош в случае, если нужно очистить большое пространство, например, под строительство или под новые посадки.

Корчеватель пней

Специальное приспособление для корчевки. Может быть ручным и навесным. Ручной корчеватель используется для удаления молодых тонких деревьев и кустарников. Состоит из опорной площадки и стойки с рычагом и захватом для дерева.

  • Достоинства: аккуратно и быстро удаляет молодую поросль, не уродуя ландшафт.
  • Недостатки: покупать в личное пользование для единичных случаев нецелесообразно, а чтобы взять в аренду тоже придется постараться — не в каждом хозяйстве найдется такой агрегат.

Навесной корчеватель навешивается на тяжелую технику и предназначен для удаления большого количества пней на обширной территории.

Пнедробильная машина

Самоходный компактный механизм на колесах с бензиновым двигателем. Удаляет пни путем дробления древесины на глубину 30 см. Подходит для удаления одиночных пеньков среди посадок или построек. Среди достоинств метода можно отметить скорость работы, аккуратность и безопасность — окружающий ландшафт, постройки и коммуникации не повреждаются.

Недостатки: глубина дробления небольшая, всего 30 см. Это значит, что оставшиеся на глубине корни в будущем могут дать нежелательную поросль или помешать вспашке земли и прокладке коммуникаций; использование такой техники возможно только на участках, свободных от различного твердого мусора. Особенно опасно наличие в земле металлических предметов (болтов, гвоздей, арматуры и т. д.), так как можно повредить дорогостоящий аппарат.

Корчевка пней с помощью лебедки

Еще один вариант механического удаления корней, который подходит для удаления молодых деревьев небольшого или среднего размера. Чтобы удалить дерево таким способом, необходимо провести предварительную подготовку, а именно: обкопать объект удаления в радиусе 1 метра или чуть больше и на глубину около полуметра, оголившиеся боковые корни обрубить. Затем пень обвязывается у основания тросом, и на достаточном от него удалении за надежную опору крепится лебедка, и начинается процесс вытягивания. После того как пень будет удален, таким же образом можно будет избавиться от корней, оставшихся в земле.

Преимущества метода: если в хозяйстве имеются необходимые инструменты (штыковая лопата, лом, топор, ножовка, лебедка и крепкий трос), то метод не затратный. Реально справиться самостоятельно без привлечения помощников.

Недостатки: не со всяким пнем может справиться лебедка. Крепкое молодое дерево, да еще и растущее в плотной глинистой почве, она вряд ли одолеет. А может просто-напросто не оказаться поблизости подходящего объекта, к которому ее можно прикрепить.

Ей тоже можно избавиться от пня без корчевания — ствол спиливается на уровне земли. Способ быстрый, не затратный. Хорош в том случае, если нужно в краткие сроки придать участку эстетичный вид. Но недостатки очевидны: удаляется только надземная часть, оставшиеся корни через какое-то время дадут поросль. К тому же на месте спиленного пня невозможно распахать землю. Да и строительство затевать не рекомендуется (помните про поросль).

Если по каким-то причинам воспользоваться техникой не получается, то ненужные деревья можно удалять, используя обычные инструменты — топор, лопату, ножовку, кувалду, клинья, лом (подойдет в качестве рычага).

Пенек обкапывается со всех сторон. По мере углубления оголяющиеся боковые корни обрубаются или отпиливаются, ствол расшатывается и вытаскивается из земли. Для облегчения задачи можно использовать воду: с помощью шланга под напором под корень подается вода. Грунт вымывается, корни обрубаются, ствол в раскисшей земле расшатывается гораздо легче.

  • Преимущества: таким образом можно удалять пни, расположенные в недоступном для техники месте.
  • Недостатки: это только на словах все происходит легко и быстро, на самом деле корчевание вручную — процесс длительный и требующий приложения больших физических усилий. К тому же размывание грунта водой можно применить не во всяком месте. Например, в непосредственной близости фундамента какой-либо постройки или мощеной дорожки, или вблизи посадок, от которых избавляться не планируете.

В случае если не представляется возможным провести корчевание пней вышеописанными способами, есть альтернатива — удаление пней с помощью химических препаратов:

Удаление пней с применением селитры происходит следующим образом: древесный остов спиливается на уровне земли. В получившейся древесной площадке высверливаются глубокие отверстия (примерно 30-40 см), причем чем больше диаметр дерева, тем больше отверстий сверлится. Затем все это обильно смачивается водой. После того, как вода впитается, в отверстия щедро засыпается селитра, пенек накрывается водонепроницаемой пленкой и оставляется на несколько месяцев (с начала осени до конца весны). За это время древесные корни полностью пропитаются селитрой и пень можно будет поджечь. За несколько часов выгорит все, что пропитано селитрой.

Применение мочевины происходит аналогичным образом, с той лишь разницей, что пень не надо будет выжигать. Мочевина ускоряет процесс разложения, и через 2 – 3 года пень полностью сгниет.

Применение обычной поваренной соли — это самый дешевый и доступный способ из всех возможных. Соль умерщвляет живое и способствует ускоренному разложению древесины. Используется тем же образом, что и мочевина.

  • Преимущества использования химических препаратов в том, что это эффективно, недорого, не требуется применение большой физической силы и привлечения помощников, а потому доступно любому.
  • Недостатки: избыточное применение химических веществ отравляет окружающую среду. Приготовьтесь, что после удаления пня с помощью соли и селитры на этом участке расти ничего не будет, а почву придется реанимировать еще несколько лет. Ни в коем случае нельзя выжигать корни на торфяниках, так как это может привести к пожару, который затушить очень сложно.

Если хочется и от пня избавиться, и выгоду от этого получить, то для достижения желаемого существует по крайней мере два варианта:

  1. Заражение ненужной древесины спорами грибов. Для этой цели лучше всего подойдут вешенки и опята. В дереве сверлят большое количество отверстий, в которые закладывают мицелий и регулярно поливают эту «грядку». Через несколько месяцев можно собирать урожай собственноручно выращенных грибов. В течение нескольких лет пень вместе с корнями постепенно разрушится и исчезнет (споры грибов ускоряют процесс).
  2. Можно вырастить новое дерево прямо в старом пне. В стволе выдалбливают ямку достаточного объема и глубины, заполняют ее плодородной почвой и в получившуюся чашу сажают молодое деревце, ухаживают за ним как обычно. В процессе роста корни саженца будут постепенно разрушать пень, который, в свою очередь, послужит ему удобрением.

И еще кое-что: есть такие деревья, выкорчевка пней которых — сущее мучение. Например, клен американский. Он дает такую мощную поросль, что кажется, убирать ее придется вечно и уничтожить полностью вряд ли удастся. Но не стоит отчаиваться. Ели все вышеописанные варианты испробованы, а нужного результата нет, стоит применить гербициды.

Средствами, которыми выжигают сорняки, надо опрыскивать зеленые листочки клена. Причем процедуру проводить не единожды, а хотя бы раз в неделю. Запаситесь терпением, проявите упорство. Рано или поздно клен засохнет.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень. А вот как это выглядит: ; .

Сначала разберемся что такое рациональные уравнения, а потом поймем что же из себя представляет решение иррациональных уравнений .

Итак, что такое рациональные уравнения , а что – иррациональные:

  • как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
  • – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);
  • а это – рациональное;
  • тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение;
  • даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути – это ;
  • – тоже рациональное, т.к. ;
  • – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней , как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает. Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так?

Так избавься от них, вот и все дела!

Если еще не догадался как, то я подскажу – просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение, но проверяй все корни, позже поймешь почему.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать («Рациональные уравнения»).

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего руководства:

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Вроде все объяснил, давай решать, математика слов не любит.

Вот такое вот уравнение , корень из икса видишь? Значит, какое уравнение?

Верно, оно иррациональное! Что дальше?

Избавляемся от корней, поскольку корень второй степени, то обе части уравнения возводим в квадрат и упрощаем:

Вот и все, почти все, что осталось сделать?

Правильно, решая иррациональное уравнение, обязательно надо проводить проверку полученных корней!

Подставим в исходное уравнение, именно в исходное уравнение, потому, что нам нужно найти его корни, а возведя в квадрат, мы могли получить посторонние корни (об этом позже). тут все верно.

Давай еще одно .

О том, что это иррациональное уравнение, думаю, ты и сам знаешь. Как и раньше возводим в квадрат обе части:

Проверка, подставим в исходное уравнение:

– вот это да, ничего тебя тут не смущает? Под квадратным корнем у нас отрицательное число!

А это говорит о том, что это посторонний корень для исходного уравнения, да, это корень уравнения , но оно-то не исходное, его мы получили после преобразований!

В ответе пишем «нет решения».

Чтобы разобраться в ситуации мы сделаем что? Будем еще решать, вот уравнение .

После возведения обеих частей в квадрат имеем:

, упрощаем и решаем квадратное уравнение по теореме Виета

У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки: подставляем , ,

но ведь ! Что же получается, – посторонний корень.

Думаю, интрига затянулась, настало время объяснить, почему получаются какие-то посторонние корни. Опять объяснять буду на примере:

, но если мы возведем в квадрат обе части, , .

о же самое получается и в нашем примере с иррациональным уравнением, в результате преобразования мы можем найти все корни, но могут примешаться и посторонние, которые и надо отфильтровать проверкой, проверив, будет ли соблюдаться равенство исходного уравнения при их подстановке.

А если взять не квадрат, а третью степень: , , какой же отсюда вывод? Ну, вообще это в свойствах корней почитаешь («Корень степени n > 1 и его свойства»), а так я напомню только основные принципы.

  • Если показатель степени четный, т.е. мы берем корень квадратный или корень степени и т.д.,
  • Если подкоренное выражение отрицательно , то корень не имеет смысла (не существует);
  • Если подкоренное выражение равно нулю, то корень тоже равен нулю;
  • Если подкоренное выражение положительно, то значение корня существует и положительно.

Примеры: — не существует, , .

Если показатель степени нечетный ( ), то корни определены при любом значении подкоренного выражения.

При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно. Примеры: , , .

Но не все так просто как хотелось бы, и опять пример .

В этом примере есть два подкоренных выражения и число .

Чтобы избавиться от корня нужно обе части возвести в квадрат, но прежде чем это сделать перенесем в правую часть.

Дело в том, что если возводить в квадрат в таком виде то упрощать придется дольше, не веришь – попробуй сам, я, пожалуй, избавлю себя от расписывания этого. Теперь возводим в квадрат обе части и упрощаем.

Понял в чем сложность? Да, этот метод решения (математики называют его «метод уединения радикала»; радикал, а попросту выражение с корнем надо уединить в одной стороне уравнения) предусматривает возможность того, что уединять и возводить в степень придется не один раз. Т

Какие замысловатые махинации по уединению одного из выражений с корнем в одной стороне и возведении всего выражения в степень нужно делать пока от корней не избавимся вовсе, чтоб получилось нормальное такое, рациональное уравнение (без корней в смысле).

Но с другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений.

На этапе, когда мы получили вместо того, чтобы тупо возводить все очередной раз в квадрат можно прикинуть, что квадратный корень берется только из неотрицательных чисел, значит, икс в данном случае будет больше либо равен нолю.

А то, что икс не может быть равен , т.к. и икс и корень из икс неотрицательны. В то время, как равенство говорит, будто неотрицательное умноженное на отрицательное равно неотрицательному, но все ведь знают, что минус на плюс дает минус.

Значит это равенство возможно лишь в случае, когда икс равен нолю. Я бы назвал решение методом уединения радикала решением «в лоб», а изложенный сейчас способ более рациональным с точки зрения лишней писанины и подсчетов. Если ты понял то, что я сейчас объяснял, то тебе, возможно, стоит ознакомиться с этой темой в изложении для среднего уровня.

Вернемся к нашему несчастному примеру,

Опять возводим в квадрат обе части.

Дальше, как ты уже запомнил нужно подставить корни и в исходное уравнение для проверки, скажу лишь, что тут будет побочным корнем, а ты давай, давай, подставляй, проверь на всякий случай. А ответ, соответственно будет .

Решать тебе, применять до последнего метод уединения радикала или на определенной стадии решить, что выражение можно не упрощать больше и решение очевидно и сейчас.

Давай еще сделаем выжимку из сказанного выше, решение иррациональных уравнений включает в себя три шага:

  1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  2. Решить получившееся рациональное уравнение;
  3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Вот, собственно, и все, а чтоб слова которые ты тут прочел не остались просто словами и ты на собственном опыте понял, что здесь к чему, вот порешай

2. реши самостоятельно. Подсказка: Ответ :

Так же можно на второй строке решения понять, что равенство не имеет смысла, т.к. , только в случае, когда , но в данном случае не подходит.

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (корня).

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Начнем с самого простого: уравнения вида .

Например: . Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

И снова вспомним определение корня степени : – это такое число, которое нужно возвести в степень , чтобы получить . В данном случае эта степень равна :

Хорошо, а что с этим: ? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем , верно?

Нет! Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня – и , ведь . Не забываем правило:

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы: . При возведении в квадрат получаем , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим в уравнение. Что получилось? Если получилось , все верно: корень подходит.

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Здесь и далее большими буквами , , , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись соответствует, например, уравнению : здесь и .

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны: . Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

Примеры (реши сам):

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где , все хорошо. Но если мы выбираем , придется кое-что сказать и про :

Примеры (реши сам):

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Возводим обе части в квадрат:

– все и правда верно, – подходящий корень.

– а вот здесь ошибка. Значит, корень – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

Проверять же ОДЗ корня ( ) здесь снова не нужно (почему?).

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

Корни , , , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

С нечетными степенями ( , , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Для того, чтобы решить иррациональное уравнение , необходимо:

  1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
  2. Решить получившееся рациональное уравнение;
  3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Узнал что-нибудь новое в этой статье?

Если серьезно, пиши в комментариях как мы можем улучшить статью.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Перед многими владельцами загородных участков и частных подворий часто встает вопрос о том, как избавиться от корней деревьев на участке. Действительно, через какое-то время деревья стареют и погибают, а после спиливания ствола остаются пни с корневищем, которые заметно уменьшают полезную посадочную площадь.

Корни старых деревьев широко разрастаются в земле и уменьшают полезную посадочную площадь.

Корни деревьев на участке являются сложной проблемой. При большом количестве остатков деревьев простые способы их удаления малоэффективны, а порой просто невозможны без применения тяжелой техники. Да вот беда: не на всякий участок может заехать такая техника. При всей сложности очистка сада от старых деревьев может быть осуществлена и своими силами.

Корчевание трактором самый простой и быстрый способ удаления пня с корнями.

После спиливания ненужного старого большого дерева на территории участка остается пень с достаточно внушительной корневой системой. Причем корни дерева уходят на большую глубину, что не позволяет их удалить простыми способами. При этом пень продолжает занимать значительную площадь, становится источником вредителей, обитающих в гниющей древесине, и портит внешний вид участка.

Пень с окружающими крупными корнями может самостоятельно сгнивать много лет, поэтому не следует надеяться, что проблема разрешится сама по себе. Достаточно быстро сгнивают небольшие корневые ответвления, а сами остатки ствола надо убрать искусственно. Таким образом, вопрос о том, как избавиться от корней деревьев на участке, решается, если убираем пень с приствольными корневыми отростками.

Известно много способов удаления пней, основанных на физическом (механическом), химическом и даже биологическом воздействии на остатки древесины. Все они имеют свои преимущества и недостатки, а выбор их зависит от ряда факторов: наличия подъезда для техники, близкого соседства с постройками, размеров остатков и породы дерева, близости плодородной земли с посадками и т.д. Важное значение имеет безопасность проведения работ как для самих работников и окружающих, так и для построек и насаждений.

Одним из самых простых и наименее трудоемких способов является обычное сжигание пня.

Главные недостатки метода: высокая вероятность возгорания соседних построек или насаждений, распространение огня по траве. Наибольшую опасность несет в себе возможность скрытого (подземного) распространения огня по длинным корням дерева в засушливую погоду.

Такое удаление корней дерева проводится только при полной гарантии пожаробезопасности: удаленности от построек, выкашивании травы вокруг, полного контроля процесса выгорания и тщательного обводнения прогоревшего участка после завершения мероприятия.

Запрещается проведение выжигания в длительный засушливый период и в ветреную погоду.

Одним из самых трудоемких способов удаления корней деревьев является выкапывание древесных остатков. Он осуществим только в случае не очень глубокого расположения корней и средних размерах ствола. Вокруг пня роется траншея глубиной до 1 м.

Схема ручной корчевки пня при помощи тяги.

При помощи лопаты штыкового типа и топора обрубаются все боковые ответвления корневой системы. Затем лом вводят под пень и расшатывают его из стороны в сторону. При этом лопатой производится постоянное подрезание оголяющихся нижних отростков корня. Таким образом, после полного отрезания корневых ответвлений (боковых и нижних) остатки ствола освобождаются и извлекаются из ямы.

Достаточно надежным способом избавления от корней деревьев на участке является корчевание с помощью техники. Если ствол имеет диаметр менее 30 см, то он полностью удаляется путем подцепления троса и создания тягового усилия трактором. В этом случае спиливание дерева производится достаточно высоко — не менее 1 м над землей, а трос прочно закрепляется на нижнем остатке ствола.

Если подъезда к дереву для тяжелой техники нет, то может быть применен мини-трактор или лебедка. Но в этом случае производится обрубание наиболее крупных боковых корневых ответвлений на глубине до 30 см. Еще лучше обкопать вокруг ствола на глубину до 0,5 м.

Трос заводится как можно ближе к корням, а в идеале — пропускается под стволом и обвязывается затем вокруг него.

Этапы корчевания пня бульдозером.

В настоящее время для удаления пней с корневой системой предлагаются специальные устройства, позволяющие произвести их измельчение, лесные фрезы.

Такая фреза позволяет за один заход измельчать древесину на глубину до 30 см.

Главный недостаток — высокая стоимость аппарата, да и приобретать его для удаления единичных деревьев нецелесообразно.

Подобную технологию можно применить при помощи болгарки или перфоратора.

Однако такой способ достаточно медленный, кроме того, существует большая опасность загубить инструмент, не предназначенный для таких работ.

На участках с песчаной или глинистой почвой для высвобождения древесной корневой системы применяется гидравлический способ, т.е. размывка грунта струей воды. Для этого возле пня роется приствольный круг глубиной порядка 30 см и диаметром до 1,5 м. В яму подается шланг с наконечником, способным сформировать достаточно сильную водную струю. С помощью такой струи производится вымывание грунта из корней и их оголение. По мере высвобождения корневых ветвей они отрезаются ножовкой или отрубаются топором. Такой способ позволяет получить доступ к большей площади корней.

Химический способ удаления предполагает использование натриевой селитры.

Ускорить гниение остатков дерева можно химическим способом, вводя в древесину различные агрессивные составы, уничтожающие материал. Самый простой катализатор процесса — обычная поваренная соль. В пне сверлятся отверстия диаметром 10-15 мм, глубиной 8-10 см (чем больше отверстий, тем лучше). В просверленные лунки засыпается соль крупного помола. Сверху пень закрывается слоем дерна. В результате такой обработки разрушение остатков древесины должно произойти через год.

Более действенный способ уже давно используется в США. В начале осени в центре пня сверлится отверстие диаметром 4-8 см в зависимости от размера древесного ствола. Глубина составляет до 40 см. В лунку засыпается калийная или натриевая селитра (50-70 г) и заливается водой. Сверху отверстие плотно закрывается древесной пробкой. Весной отверстие вскрывается, в него заливается керосин и поджигается. Все остатки древесины, включая корни, выгорают и превращаются в золу, которая может использоваться в качестве удобрения. Главное преимущество метода — избавление от всей корневой системы, включая небольшие ответвления.

Используется еще один вариант химического уничтожения остатков дерева. В отверстия, просверленные по методике солевого способа, заливается мочевина. Пень укутывается полиэтиленовой или целлофановой пленкой и засыпается слоем земли. В таком виде остатки дерева выдерживаются год или более, после чего снимается пленка, а сгнившая древесина, пропитанная мочевиной, становится хорошим удобрением. На этом месте можно смело сажать другое растение.

Длительным, но совершенно безопасным является биологический способ удаления пней, основанный на разрушении дерева натуральной грибницей. Для реализации способа необходимо с помощью топора на пне сформировать 5-8 глубоких трещин. В эти трещины следует поместить плодоносящий слой земли из леса, в котором есть грибница опят или вешенки. Для посадки вешенок можно использовать готовые мицелии. Грибные мицелии поливаются и закрываются мхом, а также слоем опавших листьев с землей. При правильно проведенном мероприятии грибница начнет плодоносить, а через 3-4 года разрушит пень.

Выбор способа избавления от корней деревьев зависит от хозяина участка и его возможностей, но принципиально этот вопрос вполне разрешим. Самый действенный способ удаления всего дерева демонстрируют профессиональные лесники: они спиливают дерево сразу с заглублением не менее 10 см ниже уровня земли, а затем засыпают место спила почвой. Через 1-2 года корни дерева сгнивают сами.

Здесь в знаменателе есть корень
7 >>

Двучлен (бином) в знаменателе

Чтобы понять это, запишите дробь
1 a + b >>

содержит корень. В этом случае:

все равно будет включать корень (если

Вы видите, что в знаменателе нельзя избавиться от одночлена
4 2 >>

Уясните смысл этого метода. Опять рассмотрим дробь
1 a + b >>

. Умножьте числитель и знаменатель на бином, сопряженный двучлену в знаменателе:

. Таким образом, нет одночленов, которые содержат корни. Так как одночлены

возводятся в квадрат, корни будут ликвидированы.

  • В ответе получился бином, сопряженный данному биному – это совпадение.
  • Кубический корень в знаменателе

    . Помните, что при умножении степеней их показатели складываются:

    Этот метод применим к любым корням степени n. Если дана дробь
    1 a 1 / n >>>

    , умножьте числитель и знаменатель на

    . Таким образом, показатель степени в знаменателе станет равным 1.

    Если нужно, в ответе запишите корень. В нашем примере показатель степени разложите на два множителя:
    1 / 3

    Появление пней на садовом участке связано с периодическим обновлением плодовых деревьев, их естественным отмиранием и очисткой площадки под строительство. Наличие древесных остовов снижает эстетичность приусадебной территории, затрудняет свободное перемещение и делает невозможным возведение новых построек. Чтобы вернуть пространству соответствующий вид и удобство пользования, от пней необходимо избавиться. Лишь в редких случаях их можно оставить, приспособив под столик или художественно оформленную клумбу.

    Процесс удаления пней не всегда связан с применением специальной техники и привлечением специалистов. Его вполне можно осуществить самостоятельно, используя лишь подручные средства и материалы.

    Существует два подхода к уничтожению пеньков – химический и физический. Химические методы (без корчевания) основаны на обработке древесных остатков реагентами, приводящими к их ускоренному разрушению или полному выгоранию при сжигании. Физические способы (обычное ручное корчевание) заключаются в применении классических инструментов для работы – лопаты, пилы и топора.

    Данный подход является универсальным для уничтожения пеньков на большинстве садовых территорий и прилегающих участков. Суть способа заключается в сжигании древесных остатков, пропитанных селитрой – сильным окислителем. Средство для удаления пня (нитрат калия или натрия) позволяет выгореть не только надземной части спиленного дерева, но и глубоким корням.

    Принцип подготовки к удалению заключается в следующем:

    • в дереве высверливается максимально толстыми сверлами несколько отверстий. Процесс осуществляется в конце лета или начале осени;
    • в получившуюся перфорацию засыпается до верха калийная или натриевая селитра, которую затем следует полить водой для интенсификации пропитки древесины;
    • верх отверстий закрывается предварительно вырезанными деревянными пробками или укутывается полиэтиленовой пленкой, плотно перевязанной по древесному стволу.

    Подготовленный пень остается в таком состоянии до следующего лета. За это время вся корневая система насыщается селитрой и высыхает. Вокруг пня разводится костер, который необходимо поддерживать до полного разрушения остова. Если верхний срез пня расположен на одном уровне с землей, в нем можно просверлить дополнительные углубления для заливки бензина или керосина. Горючая смесь поджигается, инициируя процедуру горения и тления пенька по всему объему. После полного выгорания место, на котором был расположен пень, перекапывается и забрасывается землей.

    Как быстро убрать пень, не выкорчевывая, при помощи селитры смотрите на видео:

    На один пень, оставшийся от плодового дерева средних размеров (до 15 см в диаметре), расходуется около 2 кг селитры. Ее количество влияет преимущественно не на полноту, а на скорость выгорания древесины. Чтобы добиться максимального уничтожения пня, включая корни, следует дождаться, пока дерево окончательно просохнет после зимы и весенних дождей.

    Для справки – чтобы 1 кг селитры поместился в пень, нужно сделать двадцать отверстий диаметром 1 см, пять отверстий диаметром 2 см или два отверстия диаметром 3 см (глубина – 30 см). Чем толще будет сверло, тем быстрее пойдет работа.

    Достоинства метода:

    • минимум физических усилий по подготовке;
    • почти полное удаление остатков, за исключением самых глубоких корней;
    • простота реализации;
    • отсутствие зеленых побегов из остатков корней в будущем.
    • по время пропитки почва насыщается селитрой. Она является хорошим удобрением, однако вредна в большом количестве для клубневых и плодовых культур;
    • долгое ожидание между подготовкой пня и его уничтожением;
    • необходимость приобретения, хранения и транспортировки химикатов.

    Процесс горения пня под действием селитры:

    Данный способ следует с осторожностью применять в торфянистой местности, чтобы избежать возгорания торфа. Корни деревьев могут уходить на значительную глубину, пропитываясь селитрой до самых кончиков. Медленное тление древесины корней, происходящее при ограниченном притоке воздуха, нередко инициирует продолжительное горение торфяной залежи.

    Подготовка пня при данном методе полностью идентична применению селитры – пень перфорируется сверлами максимального диаметра, а в образовавшиеся отверстия засыпается карбамид (мочевина). Верх отверстий заливается водой, после чего пень плотно укутывается полимерной пленкой. Через 1-2 года древесные остатки полностью перегнивают, а на их месте оказывается плодородный слой почвы.

    Не стоит путать между собой мочевину и аммиачную селитру. Это совершенно разные соединения – мочевина относительно безвредна, тогда как аммиачная селитра является достаточно взрывоопасным и токсичным веществом.

    Достоинства метода:

    • минимум физической работы;
    • грунт не загрязняется нитратами;
    • удаление пня происходит полностью. Это делает участок пригодным для застройки, разбивки клумбы и засадки любыми садовыми и огородными культурами.
    • очень длительный срок уничтожения пня;
    • необходимость приобретения дополнительных материалов;
    • большой расход химикатов для удаления нескольких пеньков.

    Для справки – чтобы поместить 1 кг мочевины в пень, придется сделать около тридцати отверстий диаметром 1 см, восьми отверстий диаметром 2 см или четырех отверстий диаметром 3 см (глубиной 30 см). Расход карбамида на удаление пня средних размеров подбирается так же, как и при закладке селитры.

    Меры предосторожности при работе с химикатами:

    При использовании любых удобрений рекомендуется применять средства защиты. Для работы с селитрой вполне подойдет старая одежда и перчатки для рук. При работе с мочевиной можно не использовать такие меры предосторожности, однако рассыпать химикат по всему участку и брать его голыми руками тоже не стоит.

    Вокруг удаляемых пней желательно не сажать растения, плоды или клубни которых будут употребляться в пищу. Также следует учитывать, что высокие концентрации селитры могут «выжечь» насаждения на расстоянии 0,5-1 м от пня, поэтому позаботьтесь заранее о пересадке растений, которые вы хотите сохранить.

    Быстро убрать пень можно при использовании трактора, экскаватора или корчевателя (ручной фрезы). Привлечение крупногабаритной техники бывает неудобно или вообще невозможно из-за наличия на участке ограды, растений и оборудованных дорожек. Покупка ручного корчевателя или наем специалиста со своим инструментом – весьма затратное мероприятие ради удаления одного пня. Чтобы сэкономить средства и силы, нужно привлечь одного или двух помощников и придерживаться общих правил работы.

    Подготовка к процедуре: перед тем как удалить пень, его нужно очистить от окружающей земли. Для этого можно пойти двумя путями:

    1. раскопать примерно на полметра ближайшее пространство, используя небольшую штыковую лопату. Чтобы грунт не скатывался в обратно, он отбрасывается в сторону совковым инструментом;
    2. выкопать на расстоянии 1-2 м от пня яму диаметром и глубиной около 1 и 0,5 м, оборудовав к ней сток (желоб) от остатков дерева. Затем земля вокруг пня вымывается струей воды из шланга. Чем больше будет ее напор, тем быстрее откроется доступ к верхней корневой системе.

    Извлечение остова с использованием лебедки: чтобы достать пень из земли, можно обвязать его по стволу и корням металлическим тросом, протянутым через лебедку. Трос должен отходить к лебедке от места спила, обеспечивая этим рычаг для опрокидывания пня. Лебедка крепится на прочно зафиксированном столбе или другом дереве.

    Механическое удаление: при невозможности использовать лебедку, остов дерева можно извлечь, обрубив или отпилив его корни. Конкретный способ зависит от степени открытости корней и наличия доступа к ним с топором или пилой. Если нет возможности оголить корень, его можно перерубить прямо в земле, используя пешню – металлический лом или тонкую трубу с приваренным с одного конца топором. Подобным инструментом часто пользуются дворники, оббивая обледенение с асфальта.

    После обрубки боковых ответвлений обычно остается центральный столб, к которому сложно подступиться. Он уже проворачивается из стороны в сторону и частично вращается вокруг оси. Разорвать его с глубоким вертикальным корнем можно активными разворотами и наклонами в разные стороны.

    Относительно легкий способ выкорчевки пня без применения спецтехники:

    Преимущества:

    • минимальные денежные и финансовые затраты;
    • высокая скорость работы (в день можно уничтожить остатки двух-трех крупных деревьев).
    • значительная трудоемкость процесса;
    • в ряде случаев к пню невозможно подступиться и выкопать подходящую по размерам яму (из-за расположенных рядом дорожек или клумб);
    • на месте пенька остаются боковые и вертикальные корни, которые могут помешать ведению строительства;
    • необходимость привлечения дополнительных помощников.

    Чтобы убрать небольшой сухой пень (не более 10 см в диаметре), можно разломать его длинным ломом, используя грубую силу. Вначале пень расщепляется посередине путем наносимых ударов, а затем ломом, как рычагом, расшатываются образованные фрагменты, обламывающиеся в 10-15 см ниже уровня земли.

    Во время работы с лебедкой извлекаемый пень может резко выскочить из земли и пролететь в воздухе несколько метров. Из-за этого следует отходить от возможной траектории полета дерева и помнить, что оборвавшаяся веревка или трос также могут нанести тяжелые травмы.

    Элементы безопасности при рубке корней:

    • при использовании пешни необходимо широко ставить ступни, чтобы случайно не ударить по ним через слой осыпавшейся земли;
    • нельзя подходить близко к человеку с топором или рубить пень совместно. Соблюдайте правило – один рубит, другой отдыхает;
    • работая с топором, следует стоять на широко расставленных ногах, чтобы не травмироваться отскочившим от твердого корня острием.

    Существует несколько критериев, по которым можно определиться с оптимальным подходом.

    1. Механизированный способ с привлечением крупной спецтехники подходит для расчистки участка под застройку и требует свободного пространства и путей подъезда. Метод подходит для удаления большого числа пней.
    2. Химический способ пригоден для последующего строительства и обновления сада, если есть время подождать 1-2 года. Мочевина идеально приспособлена для получения плодородного участка и оказывает минимум негативных эффектов, тогда как селитра в большой концентрации действует на растения «обжигающе».
    3. Удаление вручную применяется в большинстве ситуаций, когда вокруг пня можно выкопать подходящую по размерам яму. Способ требует значительных физических усилий и минимальных финансовых вложений.

    Очищенное от пней место можно использовать куда более эффективно, чем участок с неубранными древесными остовами. Пеньки мешают в полной мере реализовать красивую ландшафтную композицию, за исключением редких дизайнерских решений. Помимо отличной функциональности, ухоженный участок всегда радует глаз и безопасен для отдыха и ведения хозяйственной деятельности. Потратив несколько дней на очистку территории от пней, можно на долгие годы упростить сбор урожая и уход за придомовым пространством.

    источник

    Читайте также:  Как избавиться от фурункула на шее