Меню Рубрики

Сумма что это в математике

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике это результат операции сложения числовых величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д. ), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Операция сложение (нахождение суммы) может быть определена для более сложных алгебраических структур. Сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Пусть в множестве N <\displaystyle \mathbb > находится a <\displaystyle a> элементов, образующее подмножество A <\displaystyle A> и b <\displaystyle b> элементов, образующее подмножество B <\displaystyle B> ( A ⊂ N , B ⊂ N <\displaystyle A\subset \mathbb ,B\subset \mathbb > , a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой a + b <\displaystyle a+b> будет количество элементов c <\displaystyle c> образующее подмножество C ⊂ N <\displaystyle C\subset \mathbb > , полученное при дизъюнктном объединении двух исходных подмножеств C = A ⊔ B ; <\displaystyle C=A\sqcup B;> .

∑ i = ⁡ m n a i = a m + a m + 1 + a m + 2 + ⋯ + a n − 1 + a n <\displaystyle \sum _m>^a_=a_+a_+a_+\cdots +a_+a_>

где: i — индекс суммирования; ai — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения, и остановится когда i = n . [1]

Примеры записи ∑ i = ⁡ 1 100 i = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99 + 100 <\displaystyle \sum _1>^<100>i=1+2+3+4+. +99+100> ∑ i = ⁡ 3 6 i 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 86 <\displaystyle \sum _3>^<6>i^<2>=3^<2>+4^<2>+5^<2>+6^<2>=86>

Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста:

∑ a i 2 = ∑ i = ⁡ 1 n a i 2 <\displaystyle \sum a_^<2>=\sum _ 1>^a_^<2>>

Итератор может быть выражением, тогда переменная оформляется со скобками как функция « f ( ) <\displaystyle f()> ». Например, сумма всех натуральных чисел k <\displaystyle k> в определённом диапазоне:

Сумма μ ( d ) <\displaystyle \mu (d)> всех положительных чисел d <\displaystyle d> , являющихся делителями числа n <\displaystyle n> :

Несколько символов сигма могут обобщать, например:

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

∑ i = 0 n ( a 0 + b ⋅ i ) = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 <\displaystyle \sum _^(a_<0>+b\cdot i)=(n+1)<\frac +a_><2>>>

∑ i = 0 n a 0 ⋅ b i = a 0 ⋅ 1 − b n + 1 1 − b <\displaystyle \sum _^a_<0>\cdot b^=a_<0>\cdot <\frac <1-b^><1-b>>>

3. ∑ k = 1 n k 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 <\displaystyle \sum \limits _^k^<3>=\left[<\frac <2>>\right]^<2>=\left(\sum \limits _^k\right)^<2>>

4. ∑ i = 0 n ( 1 p ) i = p p − 1 ( 1 − 1 p n + 1 ) , p ≠ 1 , n ≥ 0 <\displaystyle \sum _^<\left(<\frac <1>

>\right)>^=<\frac

>\left(1-<\frac <1>>>\right),\quad p\neq 1,n\geq 0>

∑ i = 0 n ( 1 p ) i = ∑ i = 0 n 1 ⋅ 1 p i = 1 ⋅ 1 − ( 1 p ) n + 1 1 − 1 p = p n + 1 − 1 p n + 1 p − 1 p = p n + 1 − 1 p n ( p − 1 ) = p p − 1 ( 1 − 1 p n + 1 ) <\displaystyle \sum _^<\left(<\frac <1>

>\right)>^=\sum _^<1\cdot <\frac <1>>>>=1\cdot <\frac <1-<\left(<\frac <1>

>\right)>^><1-<\frac <1>

>>>=<\frac <\frac -1>>><\frac

>>=<\frac -1>(p-1)>>=<\frac

>\left(1-<\frac <1>>>\right)>

5. ∑ i = 0 n i p i = n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( p − 1 ) 2 , p ≠ 1 <\displaystyle \sum _^ip^=<\frac -(n+1)p^+p><(p-1)^<2>>>,\quad p\neq 1>

∑ i = 0 n i p i = ∑ i = 1 n i p i = p ⋅ ∑ i = 1 n i p i − 1 = p ⋅ ∑ i = 0 n − 1 ( i + 1 ) p i = p ⋅ ( ∑ i = 0 n − 1 i p i + ∑ i = 0 n − 1 p i ) = p ⋅ ∑ i = 0 n i p i − p ⋅ n p n + p ⋅ 1 − p n 1 − p ⇒ <\displaystyle \sum _^ip^=\sum _^ip^=p\cdot \sum _^ip^=p\cdot \sum _^(i+1)p^=p\cdot \left(\sum _^>+\sum _^p^\right)=p\cdot \sum _^ip^-p\cdot np^+p\cdot <\frac <1-p^><1-p>>\Rightarrow > ⇒ ( 1 − p ) ∑ i = 0 n i p i = − n p n + 1 ( 1 − p ) + p − p n + 1 1 − p ⇒ ∑ i = 0 n i p i = n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( 1 − p ) 2 <\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _^ip^=<\frac <-np^(1-p)+p-p^><1-p>>\Rightarrow \sum _^ip^=<\frac -(n+1)p^+p><(1-p)^<2>>>>

6. ∑ i = 0 n p i = ( p − 1 ) ∑ i = 0 n − 1 ( ( n − i ) p i ) + n + 1 , p ≠ 1 <\displaystyle \sum _^p^=(p-1)\sum _^((n-i)p^)+n+1,\quad p\neq 1>

( p − 1 ) ∑ i = 0 n − 1 ( ( n − i ) p i ) + n + 1 = ( p − 1 ) ∑ i = 0 n ( ( n − i ) p i ) + n + 1 = ( p − 1 ) ( n ⋅ ∑ i = 0 n p i − ∑ i = 0 n i p i ) + n + 1 = <\displaystyle (p-1)\sum _^((n-i)p^)+n+1=(p-1)\sum _^((n-i)p^)+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum _^p^-\sum _^ip^\right)+n+1=> = ( p − 1 ) ( n ⋅ 1 − p n + 1 1 − p − n p n + 2 − ( n + 1 ) p n + 1 + p ( 1 − p ) 2 ) + n + 1 = <\displaystyle =(p-1)\left(n\cdot <\frac <1-p^><1-p>>-<\frac -(n+1)p^+p><(1-p)^<2>>>\right)+n+1=> = n p n + 2 − n p − n p n + 1 + n − n p n + 2 + n p n + 1 + p n + 1 − p + p n − n + p − 1 p − 1 = <\displaystyle =<\frac -np-np^+n-np^+np^+p^-p+pn-n+p-1>>=> = p n + 1 − 1 p − 1 = ∑ i = 0 n p i <\displaystyle =<\frac -1>>=\sum _^p^>

Неопределённой суммой a i <\displaystyle a_> по i <\displaystyle i> называется такая функция f ( i ) <\displaystyle f(i)> , обозначаемая ∑ i a i <\displaystyle \sum _^<>a_> , что ∀ i : f ( i + 1 ) − f ( i ) = a i <\displaystyle \forall i:f(i+1)-f(i)=a_> .

Если найдена неопределённая сумма ∑ i a i = f ( i ) <\displaystyle \sum _^<>a_=f(i)> , то ∑ i = a b a i = f ( b + 1 ) − f ( a ) <\displaystyle \sum _^a_=f(b+1)-f(a)> .

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ · ∑ ).

источник

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:

которая расшифровывается так

(14.1)

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

Пример 14.2 Вычислим несколько сумм:

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

(14.2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,

в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Предложение 14.1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 8964 — | 7159 — или читать все.

176.59.98.28 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

источник

Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике?

Сумма — это результат сложения, причем слово может относиться не только к цифрам.

Разность — это то, что получается после вычитания чисел.

Произведение — то что получается после умножения, слово имеет и другое значение.

Частное — это то, что получается после деления.

I. Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ.

Читайте также:  Пополнить счет теле2 с банковской карты смс 900

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ.

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Вычитание — это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое — вычитаемым, а искомое слагаемое — РАЗНОСТЬЮ.

РАЗНОСТЬ — это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.

Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ — это результат умножения.

Деление есть операция, обратная умножению.

Деление — это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель — делителем, а искомый сомножитель — это ЧАСТНОЕ, то есть число, полученное от деления одного числа на другое.

II. ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ.

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов , а вражда — с разности взглядов.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка — настоящее произведение искусства.

ЧАСТНОЕ — это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.

Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью quot;Частноеquot;. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

По сути, все четыре слова в вопросе, а именно сумма, разность, произведение и частное, отражаю четыре основные математические действия, которые являются азами. Именно с обучения данным действиям начинается увлекательный путь в мир математики. Таким образом,

Сумма, разность, произведение, частное — это результат математических дейтсвий, с которых мы все начинали свое знакомства с математикой. В жизни эти слова мы тоже используем, но значение вкладываем в них больше математическое, хоть складывать можем и не числа. Произведение еще может быть и художественным. Это совсем другое значение слова, которое мы применяем в жизни.

Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.

Сумма — это когда происходит складывание двух чисел;

Разность- это вычитание одного числа из другого;

Частное — это деление одного числа на другое;

Произведение — это умножение одного числа на другое.

Частное — результат деления чисел, произведение — результат умножения чисел, сумма — результат сложения чисел, разность — результат вычетания. Это элементарные математические действия, которые можно проводить с числами.

Это такие математические понятия.

Сумма — это результат сложения. Числа, которые складывают, называют первое слагаемое и второе слагаемое. Обозначается таким знаком: +.

Разность — это результат вычитания. Числа, которые вычитают, называют уменьшаемое (то, которое больше) и вычитаемое (то, которое меньше). Обозначается таким знаком: -.

Произведение — это результат умножения. Числа, которые умножают, называются первым множителем и вторым множителем. Обозначается таким знаком: *.

Частное — это результат деления. Числа, которые делят, называются делимое (то, которое больше), делитель (то, которое меньше). Обозначается таим знаком: :.

Эти все понятия проходят в начальной школе.

В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:

сумма — это результат сложения чисел,

разность — это результат вычетания от одного числа другого,

произведение — это результат умножения чисел,

частное — это уже результат деления чисел.

Суммой в математике назовем число, которое получим в результате прибавления одного числа к другом. Разность это число противоположное сложению, это когда отнимают от большего числа меньшее. Произведением назовем число, которое получится в результате умножения одного числа на другое. Разность это противомоложное произведению число. Получаем разность так: делим одно число на другое.

Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.

Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется quot;Математика для блондинокquot;.

Мне понравилась методика изучения.

Задается провокационный вопрос:

Разность — это поделить или умножить?

Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

Разность — это отнять. Результат вычитания называется разность.

Сумма — это сложить. Результат сложения называется сумма.

Произведение — это умножить. Результат умножения называется произведение.

Частное — это деление. Результат деления называется частное.

Таким простым языком объясняются верные понятия суммы, разности, произедения и частного в математике. Немного упрощенно записаны лишь словосочетания: разность — это отнять, сумма — прибавить, произведение — умножить, частное — разделить. Если быть точными, так не утверждают.

Итак, результат сложения чисел (слагаемых) — это их сумма, результат вычитания чисел (уменьшаемого и вычитаемого) — это разность, результат умножения чисел (сомножителей) — это произведение, а результат деления чисел (делимого на делитель), причем делитель не должен быть равен нулю, иначе деление нельзя выполнить, есть частное этих чисел.

О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))

Слова Сумма, Разность, Произведение и Частное очень знакомо ученикам школ и других учебных заведений веди с этими определениям им приходиться на каждом уроке математики.

1) Сумма

Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.

Суммой так же является итоговая стоимость товара (сумма к оплате), общая совокупность знаний, впечатлений и много чего.

2) Разность

В математике означает результат вычитания числе (-).

Слово разность так же может употребляться в качестве слова разницы чего-либо. Например, разность мнений, разность взглядов, разность показателей и т.д.

3) Произведение

Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).

Кроме математики это слово еще употребляется в качестве обозначения результата творческого процесса (произведение искусства), в качестве глагола от quot;производитьquot;.

4) Честное

Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).

Слово quot;частноеquot; мы так же можем услышать при обозначении принадлежности чего либо одному собственнику (частное лицо, частная собственность, частное дело).

Читайте также:  Чем опасны гормоны для женщин

источник

В каких ещё значениях, не связанных с математикой, употребляются эти слова?

I. Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ.

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ.

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Вычитание — это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое — вычитаемым, а искомое слагаемое — РАЗНОСТЬЮ.

РАЗНОСТЬ — это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.

Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ — это результат умножения.

Деление есть операция, обратная умножению.

Деление — это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель — делителем, а искомый сомножитель — это ЧАСТНОЕ, то есть число, полученное от деления одного числа на другое.

II. ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ.

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

Например. Разность интересов намного хуже разницы в возрасте. Дружба может начаться с представления об общности взглядов , а вражда — с разности взглядов.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка — настоящее произведение искусства.

ЧАСТНОЕ — это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.

Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью «Частное». Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

источник

Сумма — Сумма: Сумма (математика) результат сложения. Сумма (перен., книжн.) (лат. summa) итог, общее количество. Примеры Денежная сумма. Сумма жанр научного или дидактического сочинения. Сумма российский холдинг. Сумма Ляхде … Википедия

СУММА — (лат. summa итог), созданный схоластикой жанр филос. литературы; до кон. 12 в. краткий компендий, затем огромный по объёму и строгий по композиции обзорно итоговый труд, приводящий к сложному единству многообразие тем. Наиболее важные… … Философская энциклопедия

сумма — Итог, сложность, собрание, совокупность. Ср. . .. См. следствие, число. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999 … Словарь синонимов

СУММА — (лат.). 1) в математике: величина, получаемая от сложения нескольких величин. 2) всякое количество денет. 3) совокупное содержание чего либо, напр. сумма знаний. 4) итог. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н.,… … Словарь иностранных слов русского языка

сумма — Сумма, поскольку одно из значений этого слова «некоторое количество денег», то следует признать нередко встречающиеся словосочетания сумма денег или денежная сумма неправильным: вполне достаточно просто сумма … Словарь ошибок русского языка

СУММА — жен. сложность, итог. | Всякое количество денег. Большие, малые суммы. Казенные, персыльные суммы. Сумач муж., ниж. богач. У нас в Рыбном (Рыбинске) такие сумачи есть, что ну! Суммовать, слагать, подводить итоги. Суммация, выведенная окончательно … Толковый словарь Даля

СУММА — (лат. summa итог общее количество), результат сложения. Часто для краткости сумму n слагаемых а1+а2+. +аn обозначают(здесь ? греч. буква сигма символ суммы) … Большой Энциклопедический словарь

СУММА — общее количество, совокупность товаров, денежных средств. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. 2 е изд., испр. М.: ИНФРА М. 479 с.. 1999 … Экономический словарь

СУММА — СУММА, ы, жен. 1. Результат, итог сложения. 2. перен. Совокупность каких н. явлений, черт. С. всех данных. Вся с. человеческих знаний. 3. Определённое, то или иное количество денег. Затрачены крупные суммы. | прил. суммовой, ая, ое (к 1 знач.;… … Толковый словарь Ожегова

СУММА — результат операции (см.) … Большая политехническая энциклопедия

источник

Сумма — Сумма: Сумма (математика) результат сложения. Сумма (перен., книжн.) (лат. summa) итог, общее количество. Примеры Денежная сумма. Сумма жанр научного или дидактического сочинения. Сумма российский холдинг. Сумма Ляхде … Википедия

Сумма ряда — Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае что он расходится[1].… … Википедия

МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия

Математика в Древнем Египте — Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

Математика Древнего Востока — История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

МАТЕМАТИКА — Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Математика инков — Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… … Википедия

Сложение (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Сложение (значения). Сложение (прибавление) одна из основных операций (действий) в разных разделах математики, позволяющая объединить два объекта (в простейшем случае два числа). Более … Википедия

Ряд (математика) — Сумма ряда, или бесконечная сумма, или ряд, математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) … Википедия

источник

Суммой $s$ (лат. summa — итог, общее количество) чисел $a_<1>, a_<2>, \dots, a_$ называется результат суммирования этих чисел: $s=a_<1>+a_<2>+\ldots+a_$ . В частности, если складывается два числа $a$ и $b$, то

Читайте также:  Как забыть человека которого любишь и видишь каждый день

Задание. Найти сумму чисел:

1) $12$ и $15$ 2) $1,1 ; 2,2 ; 3,3$ и $4,4$

На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

Дистрибутивность по отношению к умножению

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1) $15+17+13$ ; 2) $34+22+16+18$

Решение. По свойствам сложения имеем

Ответ. 1) $15+17+13=45$

При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

1) $1562+13827$ ; 2) $34,71+356,161$

Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:

Ответ. 1) $1562+13827=15389$

Сложение рациональных дробей производится по правилу

Задание. Найти сумму чисел:

Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел

Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим

Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей

Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.

источник

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат суммирования величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д. ). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Понятие суммы применяется к более сложным алгебраическим структурам. Сумма групп. Сумма линейных пространств. Сумма идеалов. И другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Пусть в первой группе находится A предметов некоторого рода, во второй, соответственно, B предметов (A и B — натуральные числа). Тогда арифметической суммой A+B будет количество предметов в группе, полученной при объединении двух исходных.

Пусть даны рациональные числа A и B такие, что (дроби несокращаемые). Тогда .

Это обозначение называют определённой [источник не указан 940 дней] (конечной) суммой по i от k до N.

Для удобства вместо иногда пишут , где — некоторое соотношение для , таким образом это конечная сумма всех , где

  1. — эта формула позволяет рекуррентно выводить арифметические выражения для формул вида

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

3.

4.

5.

6.

Неопределённой суммой по называется такая функция , обозначаемая , что .

Если найдена неопределённая сумма , то .

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ ∑ ).

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — седьмое. — М .: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

источник

Сумма — Сумма: Сумма (математика) результат сложения. Сумма (перен., книжн.) (лат. summa) итог, общее количество. Примеры Денежная сумма. Сумма жанр научного или дидактического сочинения. Сумма российский холдинг. Сумма Ляхде … Википедия

СУММА — (лат. summa итог), созданный схоластикой жанр филос. литературы; до кон. 12 в. краткий компендий, затем огромный по объёму и строгий по композиции обзорно итоговый труд, приводящий к сложному единству многообразие тем. Наиболее важные… … Философская энциклопедия

сумма — Итог, сложность, собрание, совокупность. Ср. . .. См. следствие, число. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999 … Словарь синонимов

СУММА — СУММА, суммы, жен. (лат. summa). 1. Число, представляющее результат сложения (мат.). Десять и пять дают в сумме пятнадцать. 2. Общее количество чего нибудь (книжн.). «Сила пролетариата в любой капиталистической стране несравненно больше, чем доля … Толковый словарь Ушакова

сумма — Сумма, поскольку одно из значений этого слова «некоторое количество денег», то следует признать нередко встречающиеся словосочетания сумма денег или денежная сумма неправильным: вполне достаточно просто сумма … Словарь ошибок русского языка

СУММА — жен. сложность, итог. | Всякое количество денег. Большие, малые суммы. Казенные, персыльные суммы. Сумач муж., ниж. богач. У нас в Рыбном (Рыбинске) такие сумачи есть, что ну! Суммовать, слагать, подводить итоги. Суммация, выведенная окончательно … Толковый словарь Даля

СУММА — (лат. summa итог общее количество), результат сложения. Часто для краткости сумму n слагаемых а1+а2+. +аn обозначают(здесь ? греч. буква сигма символ суммы) … Большой Энциклопедический словарь

СУММА — общее количество, совокупность товаров, денежных средств. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. 2 е изд., испр. М.: ИНФРА М. 479 с.. 1999 … Экономический словарь

СУММА — СУММА, ы, жен. 1. Результат, итог сложения. 2. перен. Совокупность каких н. явлений, черт. С. всех данных. Вся с. человеческих знаний. 3. Определённое, то или иное количество денег. Затрачены крупные суммы. | прил. суммовой, ая, ое (к 1 знач.;… … Толковый словарь Ожегова

СУММА — результат операции (см.) … Большая политехническая энциклопедия

источник

Сумма (лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций , векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

  • а + b = b + а
  • а + (b + с) = (а + b) + с
  • (а + b) с = ас + bc
  • с (а + b) = ca + cb

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество , элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Часто для краткости сумму n слагаемых a k , a k +1, …, a N обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

Это обозначение называют определённой (конечной) суммой ai по i от k до N.

Для удобства вместо иногда пишут , где — некоторое соотношение для , таким образом это конечная сумма всех , где

Свойства определённой суммы:

Неопределённой суммой ai по i называется такая функция f(i), обозначаемая , что .

источник