Меню Рубрики

Прямоугольный треугольник как найти угол

Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным треугольником. Как известно, сумма всех углов любого треугольника равна 180°. В нашем случае один угол равен 90°, тогда сумма остальных двух тоже равна 90°. Зная один из острых углов, второй находим путем вычитания из 90° величину известного угла.

α = 90°-β

Если известна величина двух катетов прямоугольного треугольника (а, b), находим угол, используя отношения тангенсов.

tg (α) = a/b

Т.е. тангенс угла α, противолежащий катету (стороне) треугольника а, прилежащий к катету (стороне) b равен отношению катета а к катету b (противолежащего к прилежащему). Величину угла в градусах найдем воспользовавшись таблицей тангенсов. Второй угол прямоугольного треугольника (β) определяем путем вычитания из 180° величину прямого угла 90° и величину найденного острого угла (α).

β = 180° — 90° — α

Если известен катет, противолежащий искомому углу (α), и гипотенуза прямоугольного треугольника ©, находим синус острого угла sin (α), как отношение этого катета к гипотенузе.

sin (α) = a/c

Стоит запомнить: в прямоугольном треугольнике напротив катета, в 2 раза меньшего гипотенузы, расположен угол в 30°.
Если известен катет, прилежащий искомому углу, и гипотенуза, можно вычислить косинус этого угла, как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Затем в таблице косинусов находим величину угла.

Калькулятор расчета углов прямоугольного треугольника зная длину катетов

Калькулятор расчета углов прямоугольного треугольника зная длину катета и гипотенузы

источник

Зная один из катетов в прямоугольном треугольнике, можно найти второй катет и гипотенузу используя тригонометрические отношения – синус и тангенс известного угла. Так как отношение противолежащего углу катета к гипотенузе равно синусу этого угла, следовательно, чтобы найти гипотенузу нужно катет разделить на синус угла. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Второй катет можно найти из тангенса известного угла, как отношение известного катета к тангенсу. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Чтобы вычислить неизвестный угол в прямоугольном треугольнике нужно из 90 градусов вычесть величину угла α. β=90°-α

Периметр и площадь прямоугольного треугольника через катет и противолежащий ему угол можно выразить, подставив полученные ранее выражения для второго катета и гипотенузы в формулы. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/(2 tan⁡α )

Вычислить высоту также можно через тригонометрические отношения, но уже во внутреннем прямоугольном треугольнике со стороной a, который она образует. Для этого нужно сторону a, как гипотенузу такого треугольника умножить на синус угла β или косинус α, так как согласно тригонометрическим тождествам они равнозначны. (рис. 79.2) h=a cos⁡α

Медиана гипотенузы равна половине гипотенузы или известному катету a, деленному на два синуса α. Чтобы найти медианы катетов, приведем формулы к соответствующему виду для известной стороны и углы. (рис.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α ) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α )/2=(a√(4 tan^2⁡α+1))/(2 tan⁡α ) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2=√(4b^2+c^2-b^2 )/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin^2⁡α )/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α ))/2=(a√(3 sin^2⁡α+tan^2⁡α ))/(2 tan⁡α sin⁡α )

Так как биссектрисой прямого угла в треугольнике является произведение двух сторон и корня из двух, деленное на сумму этих сторон, то заменив один из катетов на отношение известного катета к тангенсу, получаем следующее выражение. Аналогично, подставив отношение во вторую и третью формулы, можно вычислить биссектрисы углов α и β. (рис.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α )=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/(tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c(a/tan⁡α +c) ))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c) ))/(a+c tan⁡α ) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(a√(2c(a+a/sin⁡α ) ))/(a+a/sin⁡α )=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α ) ))/(a sin⁡α+a)

Средняя линия проходит параллельно одной из сторон треугольника, при этом образуя еще один подобный прямоугольный треугольник с такими же по величине углами, в котором все стороны в два раза меньше, чем у изначального. Исходя из этого, средние линии можно найти по следующим формулам, зная только катет и противолежащий ему угол. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α ) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α )

Радиус вписанной окружности равен разности катетов и гипотенузы, деленной на два, а чтобы найти радиус описанной окружности, нужно разделить на два гипотенузу. Заменяем второй катет и гипотенузу на отношения катета a к синусу и тангенсу соответственно. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α )/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α ) R=c/2=a/2sin⁡α

источник

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1) β=90°-α a=c sin⁡α b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов. P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения. S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Треугольник, в котором один угол прямой, будет иметь всего одну высоту, опущенную на гипотенузу. Из любого внутреннего прямоугольного треугольника, полученного с помощью дополнительного построения высоты, можно выразить ее, как произведение катета и синуса угла. (рис. 79.2) h=b sin⁡α=c cos⁡α sin⁡α

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.3) m_с=c/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.4) l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α ) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7) M_a=a/2=(c sin⁡α)/2 M_b=b/2=(c cos⁡α)/2 M_c=c/2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее. Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два. Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1) R=c/2

источник

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 )

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы. S=ab/2 P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 )

Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b

С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β

Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β

Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2

Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2 R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Читайте также:  Как расстаться со скорпионом мужчиной без последствия

источник

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

источник

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое прямоугольный треугольник? Посмотри на картинку. Название говорит само за себя.
Прямоугольный треугольник – такой треугольник, один из углов которого – прямой (то есть равен ).

В задачах прямой угол вовсе не обязательно – левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,

и в таком

Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну. во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза. Внимание на рисунок!

Запомни и не путай: катетов – два, а гипотенуза – всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!

Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы .
В буквах это так: или так:

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.

Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов , построенных на катетах, равна площади квадрата , построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.


На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений и так далее. Не было надписей . Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами. А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

или

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус. ». Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

А почему же всё только про угол ? Где же угол ? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 — 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1.
Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол ? Есть ли катет, который находится напротив угла , то есть противолежащий (для угла ) катет? Конечно, есть! Это катет !

Значит,
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А как же угол ? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу ? Конечно же, катет . Значит, для угла катет – прилежащий, и

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот .

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу ? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла . А катет ? Прилегает к углу . Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему .

Вспомним теперь про угол . Что будет для него? Правильно:

И теперь снова углы и совершили обмен:

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Теорема Пифагора:

Запомни эту табличку как таблицу умножения – и ты сможешь решить много задач про прямоугольный треугольник.

Во всяком случае, все задачи первой части ЕГЭ, в которых участвует прямоугольный треугольник, тебе точно будут «по зубам»!

Если тебе нужно научиться решать более сложные задачи, сдать ЕГЭ на отлично и поступить на бюджет в топовый ВУЗ.

. иди на следующий уровень!

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов – прямой, то есть равен .

Главная теорема о прямоугольном треугольнике – теорема Пифагора.

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
В буквах это будет так: или так:

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок – освежай знания

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной .

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и !

А теперь соединим отмеченные точки

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата?

Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.

Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна .

Давай теперь соберем всё вместе.

Читайте также:  Как сбивать температуру у ребенка 1 год

Вот и побывали мы Пифагором – доказали его теорему древним способом.

I. По двум катетам

Прямоугольные треугольники равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника.

II. По катету и гипотенузе

III. По гипотенузе и острому углу

IV. По катету и острому углу

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?

Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.

А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

I. По острому углу

II. По двум катетам

III. По катету и гипотенузе

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Что видим? Треугольник – половина прямоугольника.

Проведём диагональ и рассмотрим точку — точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

  • Точкой пересечения диагонали делятся пополам
  • Диагонали равны

И что из этого следует?

Вот и получилось, что

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.

Вот давай мы начнём с этого «кроме того. ».

У них общий , и они оба – прямоугольные. Значит (вспоминаем только что прочитанные признаки подобия прямоугольных треугольников) – они подобны!

Но у подобных треугольников все углы равны!

(Посмотри на рисунок)

То же самое можно сказать и про и

А теперь нарисуем это вместе:

Что видим?
У и одинаковые острые углы!

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например – две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Чтобы писать меньше букв, обозначим: ; ; ; (посмотри на рисунке). Применяем подобие: .

Запишем отношения соответствующих сторон:

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу «Высота в прямоугольном треугольнике»:

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов – прямой = .

  • — катеты
  • — гипотенуза
  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам:
  • по катету и гипотенузе: или
  • по катету и прилежащему острому углу: или
  • по катету и противолежащему острому углу: или
  • по гипотенузе и остром углу: или .

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

  • одному острому углу: или
  • из пропорциональности двух катетов:
  • из пропорциональности катета и гипотенузы: или .

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .
Высота , проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному:

Высота прямоугольного треугольника: или .

В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
  • Радиус описанной окружности: .
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

Площадь прямоугольного треугольника:

  • через катеты:
  • через катет и острый угол: .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

источник

По двум сторонам и углу между ними
Если известны длины двух сторон треугольника и величина угла между ними, то найти длину третьей стороны можно воспользовавшись теоремой косинусов: квадрат длины стороны треугольника равняется сумме квадратов длин двух его других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Отсюда имеем:
с=√(а²+b²-2аb*cosC), где
а и b – длины известных сторон,

С – величина угла, заключенного между этими сторонами (противолежащего искомой стороне),

с – длина искомой стороны.
Пример 1.
Дан треугольник со сторонами 10 см и 20 см и углом между ними равным 60 градусов. Найти длину стороны.
Решение.
По вышеприведенной формуле получаем:
с=√(10²+20²-2*10*20*cos60º)=√(500-200)=√300

17,32
Ответ: длина стороны треугольника, противолежащей сторонам длинами 10 и 20 сантиметров и величиной угла между ними 60º —

3,83
Ответ: длина стороны треугольника

  • треугольник противолежащие стороны
  • Как по двум сторонам прямоугольного треугольника найти

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. При измерении его углов можно воспользоваться тригонометрическими вычислениями.

В данном треугольнике угол ∠С = 90º, как прямой, зная длины сторон треугольника, углы ∠A и ∠B вычисляются по формулам: cos∠A = AC/AB, cos∠B = BC/AB. Градусные меры углов можно узнать, обратившись к таблице косинусов.

Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60º.

В общем случае, для нахождения углов в произвольном треугольнике можно воспользоваться теоремой косинусов

cos∠α = (b² + c² — a²) / 2 • b • c

Градусную меру угла можно узнать, обратившись к таблице косинусов.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны, третья сторона при этом называется основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т.е. ∠A = ∠B. Одним из свойств треугольника является то, что сумма его углов всегда равна 180º, поэтому вычислив по теореме косинусов угол ∠С, углы ∠A и ∠B можно вычислить так: ∠A = ∠B = (180º — ∠С)/2

Читайте также:  Как войти в кошелек яндекс деньги старый

При известном катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:

Пример: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пусть угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Надо найти длину гипотенузы AB. Для этого можно воспользоваться любым из предложенных выше способов:

Для начала можно рассмотреть частные случаи и начать со случая прямоугольного треугольника. Если известно, что треугольник прямоугольный и известен один из его острых углов, то по длине одной из сторон можно найти и лругие стороны треугольника.

Для нахождения длины других сторон необходимо знать, какая сторона треугольника задана — гипотенуза или какой-то из катетов. Гипотенуза лежит против прямого угла, катеты образуют прямой угол.

Рассмотрите прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ABC. Пусть задана его гипотенуза AC и, например, острый угол BAC. Тогда катеты треугольника будут равны: AB = AC*cos(BAC) (прилежащий катет к углу BAC), BC = AC*sin(BAC) (катет, противолежащий углу BAC).

Другой частный случай — если треугольник ABC равнобедренный (AB = AC). Пусть задано основание BC. Если задан угол BAC, то боковые стороны AB и AC можно найти по формуле: AB = AC = (BC/2)/sin(BAC/2).

Если задан угол при основании ABC или ACB, то AB = AC = (BC/2)/cos(ABC).

Теперь можно рассмотреть общий случай треугольника, когда длины одной стороны и одного угла недостаточно для нахождения длины другой стороны.

Пусть в треугольнике ABC задана сторона AB и один из прилежащих к ней углов, например, угол ABC. Тогда, зная еще сторону BC, по теореме косинусов можно найти сторону AC. Она будет равна: AC = sqrt((AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC))

Стороны прямоугольного треугольника, прилегающие к прямому углу (AB и BC), называются катетами. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (AC).

Пусть нам известна гипотенуза AC прямоугольного треугольника ABC: |AC| = c. Обозначим угол с вершиной в точке A как ∟α, угол с вершиной в точке B как ∟β. Нам необходимо найти длины |AB| и |BC| катетов.

Пусть известно соотношение катетов k = a / b. Также решаем задачу с использованием тригонометрических функций. Отношение a / b есть ни что иное, как котангенс ∟α: отношение прилежащего катета к противолежащему ctg α = a / b. В этом случае из данного равенства выражаем a = b * ctg α. И подставляем в теорему Пифагора a^2 + b^2 = c^2:

b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Выносим b^2 за скобки, получаем b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. И отсюда легко получаем длину катета b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

По аналогии, если известно соотношение катетов b / a, решаем задачу с применением тригонометрической функции тангенс tg α = b / a. Подставляем значение b = a * tg α в теорему Пифагора a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Отсюда a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

Рассмотрим частные случаи.

∟α = 30°. Тогда |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Тогда |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

  • — Теорема Пифагора;
  • — тригонометрическая функция sin;
  • — четырехзначные математические таблицы Брадиса.

В первом случае известны такие данные в треугольнике, как величина угла и длина катетов, образующих этот угол. Сторону, противолежащую известному углу, необходимо находить по теореме косинусов, согласно которой необходимо длины известных сторон возвести в квадрат и сложить, затем отнять от полученной суммы произведение этих сторон, умноженное на два и на косинус известного угла.
Формула данного вычисления выглядит следующим образом:

h = √(e2+f2 – 2ef*cosA), где:

e и f – длины известных катетов;

h – неизвестный катет (или сторона);

A – угол, образованный известными катетами.

Во втором случае, когда известны два угла и катет между ними данного треугольника, нужно пользоваться теоремой синусов. Согласно данной теореме, если разделить синус угла на его длину противолежащего катета, то получится отношение, равное любому другому в этом треугольнике. Также, если вам неизвестен нужный катет, вы можете его легко найти, зная тот факт, что сумма углов треугольника равна стам восьмидесяти градусам.
Данное утверждение можно представить в виде формулы:

SinD/d = sinF/f = sinE/e, где:

D, F, E – величины противолежащих углов;

d, f, e – катеты, противолежащие соответствующим углам.

В третьем случае известны только углы данного треугольника, поэтому нельзя узнать длину всех сторон данного треугольника. Зато можно найти отношение этих сторон и методом подбора найти похожий треугольник. Отношение сторон данного треугольника находится с помощью составления системы из трех уравнений с тремя неизвестными.
Вот формула для составления:

d, f, e – неизвестные катеты треугольника;

D, F, E – углы, противолежащие неизвестным катетам.

Данное уравнение решается следующим образом:
d/sinD = f/sinF = e/sinE

(d*sinF*sinE-f* sinD* sinE-e* sinD* sinF)/ sinD* sinE* sinF.

Задача 1.
Найдите длины всех сторон прямоугольного треугольника, если известно, что длина одного катета превышает длину другого на 1 см, а площадь треугольника равна 28 см.

Решение.
Запишите основную формулу площади S = (a*b)/2 = 28. Известно, что b = a + 1, подставьте это значение в формулу: 28 = (a*(a+1))/2.
Раскройте скобки, получите квадратное уравнение с одной неизвестной a^2 + a — 56 = 0.
Найдите корни этого уравнения, для чего посчитайте дискриминант D = 1 + 224 = 225. Уравнение имеет два решения: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 и a_2 = (-1 — √225)/2 = (-1 — 15)/2 = -8.
Второй корень не имеет смысла, поскольку длина отрезка не может быть отрицательной величиной, так что a = 7 (см).
Найдите длину второго катета b = a + 1 = 8 (см).
Осталось найти длину третьей стороны. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, отсюда c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (см).

Задача 2.
Найдите длины всех сторон прямоугольного треугольника, если известно, что его площадь равна 14 см, а угол ACB равен 30°.

Решение.
Запишите основную формулу S = (a*b)/2 = 14.
Теперь выразите длины катетов через произведение гипотенузы и тригонометрических функций по свойству прямоугольного треугольника:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0.87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0.5*c.

Подставьте полученные значения в формулу площади:
14 = (0.87*0.5*c^2)/2, откуда:
28 ≈ 0.435*c^2 → c = √64.4 ≈ 8 (см).
Вы нашли длину гипотенузы, теперь найдите длины двух других сторон:
a = 0.87*c = 0.87*8 ≈ 7 (см), b = 0.5*c = 0.5*8 = 4 (см).

источник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

– Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

– Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

– Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

– Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора: , где – катеты, – гипотенуза.

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

источник