Меню Рубрики

Прямоугольный параллелепипед найти площадь поверхности

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.

Введите значения длин сторон прямоугольного параллелепипеда

a =
b =
h =

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в однаквых единицах измерения!

Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади прямоугольного параллелепипеда

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

Формула для вычисления площади прямоугольного параллелепипеда

S = 2( a · b + a · h + b · h )

где S — площадь прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

источник

При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.

Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

  1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
  2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
  3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
  4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
  5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
  6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
  7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
  8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

  1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
  2. Прямоугольника — вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
  3. Параллелограмма — найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

  • S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

  • S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

  • S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

  • S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой — только боковых граней.

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Здесь все так же довольно легко — нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:

S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.

Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.

Снова рассмотрим пример. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?

Имеем, S = 2*(a*b + a*c + b*c) = 2*(20*30 + 20*40 + 30*40) = 2*(600 + 800 + 1200) = 2*2600 = 5 200 квадратных метров.

Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.

Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:

  • S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади трёх различных граней соответственно. Запишем исходя из наших рассуждений, ещё две формулы:
  • S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3), где a, b, c соответствующие рёбра параллелепипеда, а h1, h2, h3 опущенные на них высоты.
  • S = 2*(a*b*sin (ab) + a*c*sin (ac) + b*c*sin (bc)), где a, b, c соответствующие рёбра, а (ab), (ac), (bc) углы между ними.

Снова приведём пример:

  • a = 15, b = 25, c = 25, h1 = 10, h2 = 20, h3 = 15. Пл. полной поверхности? Согласно формуле получим:
  • S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3) = 2*(15*10 + 25*20 + 25*15) = 2*(150 + 500 + 375) = 2*1025 = 2 050 миллиметров квадратных.

В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.

Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.

источник

Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.

  • Прямой параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к основаниям.
  • Наклонный параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярны к основаниям.
  • Прямоугольный – прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники.

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей её боковых поверхностей и площади основания:

$$S = 2 \cdot (a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c)$$

  1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2, 3, 4 см
    Посмотреть решение

Решение:

По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

$$ S = 2 \cdot ( a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $$

$$ S = 2 \cdot ( 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4) = 52 \ см^2 $$

Решение:

$$ S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $$

$$ S = 2 \cdot (3 \cdot 6 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 6) $$

Решение:

$$ S = 2 \cdot c \cdot (a + b) $$ , отсюда: $$ c = \frac < 2 \cdot (a + b) >= 3 \ см $$

По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

$$ S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $$

$$ S = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) = 22 \ см^2 $$

Решение:

$$ V = a \cdot b \cdot c $$ , отсюда: $$ c = \frac <(a \cdot b )>= 5 \ см $$

$$ S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $$

$$ S = 2 \cdot (2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 2 \cdot 5) = 48 \ см^2 $$

Решение:

$$ d^2 = a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 $$ , отсюда:

По формуле для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

$$ S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c) $$

$$ S = 2 \cdot (2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4) = 64 \ см^2 $$

источник

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы узнаем, что такое прямоугольный параллелепипед, его свойства. Кроме того, будет выведена формула площади поверхности параллелепипеда, решена задача с применением данной формулы.

Что общего у кирпича, коробки из-под телевизора и дома? (Рис. 1.)

Рис. 1. Кирпич, дом и коробка из-под телевизора

Можно ли понять что-то про них такое, что относится к каждому из этих предметов?

В этом и состоит задача математики: изучать нечто общее у совершенно разных вещей.

Например, мяч и глобус – шары и Земля – почти шар. (Рис. 2.)

Это фигуры, ограниченные плоскостями (рис. 3). Каждая грань является прямоугольником. Все такие фигуры называются прямоугольными параллелепипедами.
Рис. 3. Грани прямоугольного параллелепипеда

По названию видно, что бывают и непрямоугольные параллелепипеды. Действительно, гранями параллелепипеда могут быть не только прямоугольники, а и произвольные параллелограммы (рис. 4).

Рис. 4. Произвольный параллелограмм

Так же, как из прямоугольника можно сделать обычный параллелограмм, так и из прямоугольного параллелепипеда легко сделать «косой параллелепипед» (рис. 5).

Рис. 5. Косой параллелепипед

Сначала необходимо нарисовать ближнюю к нам сторону, стенку, грань (это прямоугольник) затем верхнюю. Рисовать надо ее чуть-чуть под углом, как будто бы смотришь на нее немного сбоку.

Теперь необходимо нарисовать правую грань. Так как все грани – это прямоугольники, то нужно следить, чтобы противоположные стороны этих граней были параллельны друг другу.

Читайте также:  Как снять ручку на пластиковом окне

Понятно, что, глядя на настоящую объемную фигуру, невозможно увидеть ее сразу со всех сторон.

Остальные, «невидимые», стороны тоже нужны. Поэтому договорились те линии, которые не видны, рисовать пунктиром. Необходимо дорисовать их, соблюдая параллельность. (Рис. 6.)

Рис. 6. Чертеж прямоугольного параллелепипеда

Все, изображение прямоугольного параллелепипеда готово.

У любого прямоугольного параллелепипеда есть 8 вершин. Зачастую их обозначают

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

6 прямоугольников, вершины которых совпадают с вершинами параллелепипеда, называются гранями:

  • передняя Еще есть отрезки

    Рис. 1. Отрезок, многоугольник и многогранник

    Самый «маленький» многогранник – треугольная пирамида (или тетраэдр) (рис. 2), по аналогии с самым «маленьким» многоугольником – треугольником.

    Интересный факт: в любом многограннике выполняется следующее свойство

    2) Параллелепипед: 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.

    Рис. 4. Параллелепипед

    3) Пятиугольная призма: 10 вершин, 7 граней и 15 ребер

    Рис.5. Пятиугольная призма

    Количество вершин и граней вместе всегда на 2 больше, чем количество ребер. И это свойство выполняется для всех многогранников. Это свойство сформулировал Леонард Эйлер в свое время. Свойство так и назвали: Теорема Эйлера.

    Рис. 8. Развертка прямоугольного параллелепипеда

    Уже видно на ней 6 граней, попарно равных друг другу. Если согнуть ее по линиям, то получится прямоугольный параллелепипед.

    Площадь этой развертки – это то количество бумаги, которое необходимо. Она называется площадью поверхности. Очевидно, она равна сумме площадей всех шести граней.

    Теперь можно вывести формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

    Три ребра, исходящих из одной вершины, могут иметь разную длину. Пусть они будут обозначены

    Рис. 9. Прямоугольный параллелепипед со сторонами Площадь нижней грани равна

    Сколько необходимо краски для покраски картонной коробки, если высота, ширина и длина коробки составляют 20, 30 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 1 г на каждые 100 см 2 .

    Какую площадь надо покрасить? Очевидно, это площадь поверхности коробки, ведь красить мы будем ее поверхность.

    Найдем площадь поверхности коробки. Коробка – это прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности – это сумма площадей всех граней, причем грани попарно равны.

    Расход краски – 1 г на 100 см 2 . Чтобы найти необходимое количество краски, делим общую площадь на 100:

    Получается, что необходимо 72 грамма краски, чтобы покрасить коробку.

    На данном уроке был изучен прямоугольный параллелепипед, его основные свойства и элементы. Кроме того, была выведена формула его поверхности и решена задача на применение данной формулы.

    Список литературы

    1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

    3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989.

    4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс – ЗШ МИФИ, 2011.

    5) Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

    6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    2. Портал «Первое сентября» (Источник)

    3. Портал «Презентации для школьников» (Источник)

    Домашнее задание

    1. Сколько краски надо, чтобы покрасить кубик с высотой, шириной и длиной 20, 45 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 5 грамм на каждые 100 см 2 .

    Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    источник

    Параллелепипед – это фигура, который состоит из шести четырехугольников. Если в основании этой фигуры находится прямоугольник, то многогранник называется прямоугольным параллелепипедом.

    Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани. Две из них называются основанием многогранника. Для обозначения вершин фигуры используют большие латинские буквы.

    Если две грани не имеют общего ребра, то они называются противоположными. Так как каждая грань является прямоугольником, где противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.

    Стороны граней – это ребра, фигура имеет 12 ребер. Длина ребер определяет основные характеристики прямоугольного параллелепипеда: площадь, периметр, объем.

    Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

    Примеры таких фигур мы часто встречаем в нашей жизни: кирпич, коробка, системный блок компьютера.

    Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.

    Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием в виде квадрата, параллелограмма или прямоугольника.

    Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.

    $S = ac, a, b, c$ – стороны фигуры.

    Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед

    А так как противоположные грани равны, то есть $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.

    Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.

    $S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$

    Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, S п.п – площадь полной поверхности, либо S б.п – площадь боковой поверхности. Это помогает вовремя выполнения задание не перепутать нужные данные.

    Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания 4 см и 3 см соответственно, а высота равна 2 см.

    Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c

    Решение:

    S п.п. = 2(4 * 3 + 4*2 + 3*2) = 52 см 2

    Таким образом, S п.п. = 52 см 2 .

    Для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используют те же единицы измерения, в которых были приведены длины ребер. При необходимости их нужно перевести в единую систему измерения.

    Мы познакомились с элементами прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, основание. А также ознакомились с формулами для нахождения площади боковой и полной поверхности многоугольника, которые можно использовать для решения заданий.

    источник

    Прямоугольным именуется такой параллелепипед, все шесть граней которого являются прямоугольниками. Формула расчета площади его поверхности дюже примитивна: S = 2(ab + bc + ac), где a, b и c – длины ребер.

    1. Для начала вычислите площади 3 различных граней параллелепипеда. Скажем, длина параллелепипеда (а) равна 7 см, ширина (b) – 6 см, а высота (с) – 4 см. Тогда площадь верхней (нижней) грани будет равна ab, т.е. 7х6=42 см. Площадь одной из боковых граней будет равна bc, т.е. 6х4=24 см. Наконец, площадь передней (задней) грани будет равна ac, т.е. 7х4=28 см.

    2. Сейчас сложите совместно все три итога и умножьте полученную сумму на два. В нашем это будет выглядеть дальнейшим образом: 42+24+28=94; 94х2=188. Таким образом, площадь поверхности данного прямоугольного параллелепипеда будет равна 188 см.

    Параллелепипед – объемная геометрическая фигура с тремя измерительными колляциями: длиной, шириной и высотой. Все они участвуют в нахождении площади обеих поверхностей параллелепипеда : полной и боковой.

    1. Параллелепипед – многогранник, построенный на основе параллелограмма. У него шесть граней, также являющихся этими двухмерными фигурами. В зависимости от того, как они расположены в пространстве, различают прямой и наклонный параллелепипед. Эта разница выражается в равенстве угла между основанием и боковым ребром 90°.

    Читайте также:  Что делать если почта майл ру заблокирована

    2. По тому, к какому частному случаю параллелограмма относится основание, дозволено выделить прямоугольный параллелепипед и особенно распространенную его разновидность – куб. Эти формы особенно зачастую встречаются в повседневной жизни и носят наименование стандартных. Они присущи бытовой технике, предметам мебели, электронным приборам и др., а также самим человеческим жилищам, размеры которых имеют весомое значение для обитателей и риелторов.

    3. Традиционно считают площадь обеих поверхностей параллелепипеда , боковой и полной. Первая числовая колляция представляет собой общность площадей его граней, вторая – та же величина плюс площади обоих оснований, т.е. сумма всех двухмерных фигур, из которых состоит параллелепипед. Следующие формулы носят наименование основных наравне с объемом:Sб = Р•h, где Р – пeримeтр основания, h – высота;Sп = Sб + 2•S, где So – площадь основания.

    4. Для частных случаев, куба и фигуры с прямоугольными основаниями, формулы упрощаются. Сейчас теснее не надобно определять высоту, которая равна длине вертикального ребра, а площадь и периметр обнаружить значительно легче вследствие наличию прямых углов, в их определении участвуют только длина и ширина. Выходит, для прямоугольного параллелепипеда :Sб = 2•с•(a + b), где 2•(а + b) – удвоенная сумма сторон основания (периметр), с – длина бокового ребра;Sп = Sб + 2•а•b = 2•а•с + 2•b•с + 2•a•b = 2•(а•с + b•с + а•b).

    5. У куба все ребра имеют идентичную длину, следственно:Sб = 4•а•а = 4•а?;Sп = Sб + 2•а? = 6•а?.

    Дабы обнаружить полную поверхность параллелепипеда , нужно просуммировать площади его боковой поверхности и 2-х оснований. В зависимости от вида фигуры, грани могут быть параллелограммами, прямоугольниками либо квадратами.

    1. Параллелепипед – многогранная пространственная фигура, состоящая из шести четырехугольников, имеющих форму параллелограмма. Различают прямой и наклонный параллелепипед. В первом боковые грани представляют собой вертикальные прямоугольники, во втором они составляют углы с основаниями, чудесные от 90°.

    2. У этой фигуры есть два распространенных частных случая – прямоугольный и кубический. В прямоугольном параллелепипеде все грани – прямоугольники, в кубе – квадраты. Эти формы зачастую встречаются при решении задач на построение трехмерных проекций, определение длины вектора, составление графических химических формул конструкции молекулы и т.д.

    3. Исходя из вышесказанного, дозволено обнаружить полную поверхность параллелепипеда для всякий его разновидности. Для этого довольно просуммировать площади всех граней фигуры:S = 4•Sбг + 2•Sо.

    4. Первое слагаемое именуется боковой поверхность ю. Разглядите боковые грани, которые, по свойству параллелепипеда , попарно параллельны и равны. Это параллелограммы со сторонами с, b либо а, b. Вестимо, что площадь этой двухмерной фигуры равна произведению основания на высоту:4•Sбг = (2•а + 2•с)•h.

    5. Несложно подметить, что выражение 2•а + 2•с – это периметр основания параллелепипеда , следственно:4•Sбг = Po•h.

    6. Площадь основания So представляет собой произведение стороны горизонтального параллелограмма на высоту ho, проведенную к ней:So = 2•с•ho.

    7. Подставьте обе величины в всеобщую формулу:S = P•h + 2•с•ho.

    8. У прямого параллелепипеда высота равна длине бокового ребра:S = P•b + 2•с•ho.

    9. То же заявление объективно для прямоугольного параллелепипеда , а площадь основания представляет собой удвоенное произведение длин сторон:S = 2•(а + с)•b + 2•а•с = 2•(а•b + b•с + а•с).

    10. У куба все измерения равны:S = 6•а?.

    Обратите внимание!
    Будьте внимательны и не путайте прямоугольный параллелепипед с прямым. У прямого параллелепипеда прямоугольниками являются только боковые стороны (4 из 6-ти граней), а верхнее и нижнее основания – произвольные параллелограммы.

    Полезный совет
    В качестве частного случая прямоугольного параллелепипеда может рассматриваться куб. Потому что все его грани равны, то для нахождения его поверхности будет нужно построить длину ребра в квадрат и умножить на 6.

    источник

    Параллелепипед — самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

    Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

    Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

    Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

    Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

    Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

    Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

    Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

    • Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны.
    • Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части.
    • Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам.
    • Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой — сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

    Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

    Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

    В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

    Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

    Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

    Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

    Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

    Sбок = 4 * а 2

    А из-за того, что его основания — такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

    S = 6 * а 2

    Поскольку его грани — это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

    Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 — основания.

    Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .

    Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

    Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

    Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

    Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

    Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .

    Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

    Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а 2 = 7 2 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см 2 ).

    Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .

    Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

    Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

    В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

    • разделить все неравенство на 2;
    • потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа — деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»;
    • затем поделить равенство на 2а.

    В итоге получится выражение:

    После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

    Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

    Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .

    Читайте также:  На какой скорости переключать передачи

    Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное — «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

    Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

    Элементарный расчет дает результат 5.

    Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

    Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

    Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

    Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота — нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

    Пусть известная сторона параллелограмма — это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

    С боковыми гранями все проще. Они — прямоугольники. Поэтому их площади — это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

    Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

    S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

    После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .

    источник

    Формулировка задачи: Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны A и B, а объём параллелепипеда равен V. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

    Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

    Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

    Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

    По объему и двум сторонам параллелепипеда можно получить его третью сторону:

    Осталось найти площадь поверхности параллелепипеда. Для этого найдем площади всех граней параллелепипеда и сложим их:

    S = 8 ⋅ 5 + 8 ⋅ 5 + 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 5 + 7 ⋅ 8 + 7 ⋅ 8 = 8 ⋅ 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 8 ⋅ 2 = 80 + 70 + 112 = 262

    В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

    C = V / (A ⋅ B) – третья сторона параллелепипеда

    S = (A ⋅ B + A ⋅ C + B ⋅ C) ⋅ 2

    где V – объем параллелепипеда, A и B – стороны параллелепипеда.

    Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

    Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите площадь поверхности параллелепипеда – как решать».

    Есть другой способ решения?

    Предложите другой способ решения задачи «Найдите площадь поверхности параллелепипеда». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:

    источник

    Пусть рёбра будут равны а, b, с.

    Пусть ребро куба равно а.

    *Понятно, что формулы куба являются следствием из соответствующих формул прямоугольного параллелепипеда. Куб – это параллелепипед, у которого все рёбра равны, грани являются квадратами.

    Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5 и 8. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 210. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

    Обозначим известные ребра за а и b, а неизвестное за c.

    Тогда формула площади поверхности параллелепипеда выражается как:

    Остаётся подставить данные и решить уравнение:

    Площадь поверхности куба равна 200. Найдите его диагональ.

    Построим диагональ куба:

    Площадь поверхности куба выражается через его ребро а как S = 6а 2 , значит можем найти ребро а:

    Диагональ грани куба по теореме Пифагора равна:

    Диагональ куба по теореме Пифагора равна:

    Тогда

    *Можно было сразу воспользоваться формулой диагонали куба:

    Объем куба равен 343. Найдите площадь его поверхности.

    Площадь поверхности куба выражается через его ребро а как S = 6 а 2 , а объем равен V = а 3 . Значит можем найти ребро куба и затем вычислить площадь поверхности:

    Таким образом, площадь поверхности куба равна:

    27060. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

    Диагональ параллелепипеда вычисляется по формуле:

    Найдём третье ребро. Мы можем это сделать воспользовавшись формулой площади поверхности параллелепипеда:

    Подставляем данные и решаем уравнение:

    Таким образом, диагональ будет равна:

    27063. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

    В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Понятно, что она является параллелепипедом. Формулы применяются те же. Пусть боковое ребро будет равно х. Его мы можем найти используя формулу площади поверхности:

    Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,8 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

    Единичный куб это куб с ребром равным 1.

    Площадь поверхности получившегося многогранника можно вычислить следующим образом: от площади поверхности куба нужно вычесть две площади основания вырезанной призмы и прибавить четыре площади боковой грани вырезанной призмы со сторонами 1 и 0,8:

    Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 48. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 8. Найдите объем параллелепипеда.

    Достаточно применить формулу объёма.

    Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его ребер, или произведению площади основания на высоту. В данном случае роль основания играет грань, роль высоты ребро, которое ей перпендикулярно. Получим:

    Следующие задачи вы решите без труда.

    27077. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Одно из его ребер равно 4. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Ответ: 16.

    27078. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани. Ответ: 5.

    27079. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 6. Объем параллелепипеда равен 240. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 4.

    Ещё для самостоятельного решения:

    27054. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

    27055. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

    27056. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

    27075. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности получившегося многогранника.

    27076. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

    Диагональ куба равна корню из трёхсот. Найдите его объем.

    Обозначим ребро куба как a.

    Объём куба вычисляется по формуле:

    То есть для нахождения объёма куба необходимо найти его ребро.

    Диагональ куба находится по формуле:

    Это задача обратная предыдущей.

    Диагональ куба находится по формуле:

    Выразим ребро куба из формулы объёма подставим:

    *Если вы хотите вспомнить как работать со степенями и корнями, тогда вам сюда .

    Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 72 и 18. Диагональ параллелепипеда равна 78. Найдите объем параллелепипеда.

    Пусть рёбра параллелепипеда равны a, b и с.

    Для нахождения объёма нам необходимо знать его третье ребро. Как его найти?

    Мы можем воспользоваться формулой диагонали параллелепипеда:

    Вычислим неизвестное ребро:

    Таким образом, объём параллелепипеда равен:

    *При разности квадратов используйте формулу , решение упрощается.

    Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 6. Объем параллелепипеда равен 864. Найдите его диагональ.

    Задача обратная предыдущей. Для того, чтобы найти диагональ, необходимо знать чему равно третье ребро. Мы можем вычислить его воспользовавшись формулой объёма:

    Диагональ параллелепипеда равна:

    Диагональ куба равна 41. Найдите площадь его поверхности.

    Площадь поверхности куба равна:

    Формула длины диагонали куба:

    Выразим ребро и подставим полученное выражение в формулу площади поверхности:

    Тогда площадь поверхности куба:

    Площадь поверхности куба равна 216. Найдите его объем.

    Площадь поверхности куба со стороной равна S = 6 a 2 .

    Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

    Для того, чтобы вычислить площадь поверхности необходимо знать третье ребро:

    Используем формулу длины диагонали:

    27128. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности. Ответ: 22.

    27146. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2 Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 22

    27098. Диагональ куба равна корню из двенадцати. Найдите его объем.

    27101. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

    27139. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

    27141. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

    источник