Меню Рубрики

Промежутки монотонности функции y f x

Определение : Точка х называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х выполняется неравенство: f(x) .
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

  1. Найти производную функции f′(x) .
  2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если на промежутке f′(x) , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0 , то на этом промежутке функция возрастает.
  4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
  5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1 : Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x 3 –3x 2 .
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x 2 –6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 –6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x (-∞, 0) (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x) + +
f(x) возрастает max убывает min возрастает

f(0) = 0 3 – 3*0 2 = 0
f(2) = 2 3 – 3*2 2 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

  1. Найти производную f′(x) .
  2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0 .
  3. Найти вторую производную f″(x) .
  4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
  5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f»(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2 . Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x 2 – 2x — 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x — 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х =1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

источник

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f ¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ¤ (x) ¤ (x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)

1. Найти нули и точки разрыва f ¤ (x).

2. Определить методом проб знак f ¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(x).

Пример:

Найти промежутки монотонности функции у = — х 2 + 10х + 7

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f ¤ (x). y¢ = -2х +10

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,5] y¢ > 0,

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.

Точка экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f ¤ (x) = 0 или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:

Если при переходе через критическую точку x в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с + на — , то точка x есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x в положительном направлении f ¤ (x) меняет знак с — на + , то точка x есть точка минимума.

Пример:

Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f ¤ (x). y¢ = 3 х 2 –12х +9

Точек разрыва производная y¢ не имеет;

Найдем точки, в которых y¢ = 0

3 х 2 –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения

y¢ обращается в 0 при х1 = 1, х2 = 3,

Точки, в которой y¢ = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:

(– ∞,1), [1,3] И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,1] y¢ > 0,

на промежутке [1,3] y¢ 0,

Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3 ,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.

Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.

Найдем значения умах и умin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1

источник

Примеры решения типовых задач. Пример 1.Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Пример 1.Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Шаг 1. Находим область определения функции: .

Шаг 2. Определяем все стационарные точки. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

. Корни уравнения: которые являются стационарными точками.

Шаг 3. Определяем все критические точки. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует. Критических точек нет.

Шаг 4. Рисуем числовую ось, на нее наносим пустыми точки, в которых нарушается область определения, а затем закрашенными стационарные и критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, в каждом из которых производная сохраняет знак.

Шаг 5. Определяем знак производной на каждом из промежутков, выбирая точки из промежутков и подставляя в производную.

Шаг 6. Делаем выводы, используя достаточное условие экстремума и достаточное условие монотонности.

Функция убывает в интервале , возрастает в интервалах и . Кроме того, в окрестностях стационарных точек и производная меняет знак, значит, они являются точками экстремума. Таким образом, – точка максимума и – точка минимума .

Ответ: функция убывает в интервале , возрастает в интервалах и ; , .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Читайте также:  Когда можно обрезать китайскую розу

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8453 — | 7007 — или читать все.

176.59.98.28 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

источник

Интервалом (промежутком) возрастанияфункции называется промежуток из области определения функции, на котором функция возрастает.

Интервалом (промежутком) убыванияфункции называется промежуток из области определения функции, на котором функция убывает.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами(промежутками) монотонности функции.

Интервалы монотонности функции можно определить с помощью первой производной.

Правило нахождения интервалов (промежутков) монотонности функции:

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции, а затем определить точки , в которых производная равна или (критические точки), т.е. решить уравнения и .

3. Область определения функции разбить критическими точками на числовые промежутки и определить знак в каждом из полученных числовых промежутков.

4. В тех промежутках, где функция возрастает, в тех промежутках, где функция убывает.

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции .

Решение. Т.к. функция является многочленом, то областью её определения является вся числовая ось. Найдём первую производную функции:

.

Найдём критические точки функции, для чего решим уравнение

.

.

Разобьём область определения функции критическими точками на числовые промежутки и определим знак первой производной в каждом из полученных промежутков, результаты удобнее заносить в таблицу:

+ +
возрастает убывает возрастает

Пример 2. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. Областью определения функции является вся числовая ось. Найдём первую производную функции, для удобства, представив второе слагаемое в виде степени:

, тогда

Найдём критические точки функции, для этого решим уравнения

и .

.

Получили 3 критические точки, которые разбивают область определения на 4 числовых промежутка, определим знаки первой производной в каждом из этих промежутков:

+ +
возрастает убывает возрастает убывает

Упражнения.

Найти промежутки монотонности следующих функций:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Экстремумы функции

Точка из области определения функции называется точкой максимума, если в некоторой окрестности этой точки выполняется условие

у

.

y(x0)
х0
(
)
х

Точка из области определения функции называется точкой минимума, если в некоторой окрестности этой точки выполняется условие

.

y(x0)
х0
(
)
х
у

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

В точках экстремума промежуток возрастания сменяется на промежуток убывания (точка максимума), промежуток убывания сменяется на промежуток возрастания (точка минимума)

Значения функции в точках максимума и точках минимума называются максимумом и минимумом функции соответственно.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Правило нахождения экстремумов функции с помощью первой производной:

1. Найти область определения функции.

2. Найти критические точки функции , т.е. те точки из

области определения функции, в которых или

.

3. Найденными точками разбить область определения функции на

4. Определить знак в каждом из полученных числовых

5. Если при переходе через критическую точку производная функции

меняет свой знак, то точка является точкой экстремума

функции; если знак не меняется, то точка точкой экстремума

не является. При этом если при переходе через рассматриваемую точку

слева направо знак меняется с минуса на плюс, то

точка минимума, если с плюса на минус, то точка максимума.

6. Для нахождения экстремумов функции вычислить значения функции

в точках экстремума.

Пример 1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. Область определения функции . Найдём производную функции

.

Производная обращается в ноль при Эти точки разбивают область определения функции на 4 числовых промежутка, в каждом из которых сохраняет определённый знак. Найдём знаки производной в каждом из полученных промежутков:

+ +
убывает min возрастает max убывает min возрастает

Найдём значения функции в точках экстремума (экстремумы функции):

.

Таким образом, максимумов функция достигает в точках и , минимума в точке .

Пример 2. Найти точки экстремума и промежутки монотонности функции .

Решение. Область определения данной функции .

Найдём первую производную функции, воспользовавшись правилом дифференцирования производная произведения:

=

.

Найдём критические точки функции, приравняв первую производную к нулю и к бесконечности:

;

.

Результаты исследования занесём в таблицу:

-4
+ + +
возрастает экстремума нет возрастает max убывает min возрастает

Упражнения

№1. Найти экстремумы заданных функций с помощью первой производной:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

№2. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

источник

Функция $y=f(x)$ называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

$f(x) \uparrow : x_ <1>Пример

Функция $y=x^<2>$ является возрастающей на промежутке $[0 ; 1]$, так как:

Функция $f(x)$ называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

$f(x) \downarrow : x_ <1>f\left(x_<2>\right)$

Функция $y=x^<2>$ является строго убывающей на промежутке $[-1 ; 0]$, так как:

Функция $y=f(x)$ строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Функция $y=f(x)$ называется неубывающей на промежутке, если из неравенства $x_ <1>document.write(showadvertisement_derivative());

(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции $f^<\prime>(x)>0$ на некотором промежутке $X$, то функция $y=f(x)$ возрастает на этом промежутке; если же $f^<\prime>(x) Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то $f^<\prime>\left(x_<0>\right) \geq 0$ или не существует.

Задание. Исследовать функцию $y=x^<3>$ на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

Для любого действительного $x$: $y^<\prime>(x)=3 x^ <2>\geq 0$, а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция $y=x^<3>$ возрастает на всей действительной оси.

источник

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция Тогда

функция называется возраста́ющей на , если

.

функция называется стро́го возраста́ющей на , если

.

функция называется убыва́ющей на , если

.

функция называется стро́го убыва́ющей на , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1 f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ‘(x) > 0

(f ‘ (x) 0 (

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

Полуокружность выпукла на [–1; 1].

Парабола y = x 2 вогнута на интервале (-∞; +∞).

График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π).

Читайте также:  Нужен ли загранпаспорт для поездки в молдову из россии

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f»(x) 0 – вогнутый.

источник

Темы: «Цифры: 5, 6, 7, 8, 9, 0», «Сравнение чисел», «Сложение чисел», «Вычитание чисел».

Что должны уметь ученики 1 класса по математике к концу учебного года. Итоговая контрольная работа по математике предназначена для проверки знаний, умений и навыков, полученных учениками к концу первого года обучения.

Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление чисел на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9», «Вычисление значений выражений», «Порядок выполнения действий», «Правила раскрытия скобок», «Вне табличное умножение и деление с числами до 100», «Окружность, круг, радиус и диаметр».

Контрольные работы за все четверти на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур»

Контрольные работы по учебнику Н.Я. Виленкина по темам: «Доли и дроби обыкновенные, правильные и неправильные», «Сложение и вычитание обыкновенных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Выражения, уравнения и решение уравнений», «Квадрат и куб числа», «Площадь, объем, формулы измерения площади и объема».

Контрольные работы на темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина окружности и площадь круга», «Координаты на прямой», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

Контрольные работы на темы: «»Математический язык и математическая модель», «Линейная функция», «Системы двух линейных уравнений (метод постановки и метод сложения)», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены», «Многочлены», «Разложение многочлена на множители», «Функция $y=x^2$».

Контрольные работы на темы: «Алгебраические дроби», «Функция $у=\sqrt<х>«, «Квадратичная функция», «Квадратные уравнения», «Неравенства».

Контрольные работы на темы: «Неравенства с одной переменной», «Системы неравенств», «Неравенства с модулями. Иррациональные неравенства», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений: иррациональные, однородные, симметричные».

Задачи и примеры для самостоятельной работы по математике для 1 класса за 3 и 4 четверти

Темы: «Числа от 0 до 20», «Сравнение чисел», «Сложение и вычитание чисел».

Задачи и примеры для 2 класса по учебникам М.И. Моро и Л.Г. Петерсона для самостоятельной работы

Темы: «Умножение и деление», «Сложение и вычитание чисел от 1 до 100», «Скобки, порядок выполнения действий», «Отрезок, угол, прямоугольник».

Задачи и примеры для самостоятельных работ по математике по учебнику М. И. Моро для 3 класса, 3 и 4 четверти

Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление»,»Решение текстовых задач».

Темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

Темы: «Окружность и круг», «Дроби обыкновенные, десятичные и смешанные», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание обыкновенных и смешанных дробей».

Темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина и площадь круга», «Координаты», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

Алгебра — 7 класс, самостоятельные работы по учебнику Мордковича за 1, 2, 3, 4 четверти

Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Линейное уравнение с одной переменной», «Координатная прямая и плоскость», «Линейные уравнения с двумя переменными», «Линейная функция и ее график».

Темы: «Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10», «Сравнение», «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач».

Темы: «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление».

Домашние задания по математике по учебнику М. И. Моро для 3 класса за 3 и 4 четверти

Темы: «Умножение и деление чисел от 0 до 100», «Решение текстовых задач».

Задания по учебнику Моро на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

Темы: «Окружность и круг. Обыкновенные дроби», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Округление чисел».

Темы: «Делители и кратные», «Признаки делимости», «Наибольший общий делитель», «Наибольшее общее кратное», «Свойство дробей», «Сокращение дробей», «Действия с дробями: сложение, вычитание, сравнение».

Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены, операции над одночленами – сложение, вычитание, умножение, возведение в степень», «Умножение одночленов», «Возведение одночлена в натуральную степень», «Деление одночлена на одночлен».

Тема: «Устный счет и устные вычисления».
1. Выполни сложение устно:

5 + 48 = 14 + 6 = 8 + 58 = 29 + 3 =
4 + 14 = 29 + 5 = 18 + 3 = 6 + 53 =
37 + 4 = 5 + 63 = 87 + 6 = 4 + 59 =

Задачи на тему: «Порядок действий, скобки, выражения и примеры со скобками»
1. Используя текстовое описание, составь выражения со скобками и реши эти выражения.
Из числа 16 вычти сумму чисел 8 и 6.
Из числа 34 вычти сумму чисел 5 и 8.
Сумму чисел 13 и 5 вычесть из числа 39.
Разность чисел 16 и 3 прибавь к числу 36.
Разность чисел 48 и 28 прибавь к числу 16.

источник

· Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 x 2 , справедливо f ( x 1 ) f ( x 2 ). Например, функции y=a x , y=logax при a>1, y = arctg x , y = arcsin x , ( n Î N ) возрастают на всей своей области определения.

График возрастающей функции

· Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 x 2 , справедливо f ( x 1 )> f ( x 2 ). Например, функции y=a x , y=logax при 0 a y = arcctg x , y = arccos x убывают на всей своей области определения.

График убывающей функции

· Убывающие и возрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают рядом специальных свойств.

o функция f (х), монотонная на отрезке [ а,b] , ограничена на этом отрезке;

o с умма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;

o если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);

o если f'(x)>0 для всех x Î ( a , b ), то функция y = f ( x ) является возрастающей на интервале ( a , b );

o если f'(x) x Î ( a , b ), то функция y = f ( x ) является убывающей на интервале ( a , b );

o если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х, то уравнение f(x)=C, где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;

o если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f ( x ) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.

Пример 1. Определить промежутки монотонности функции y=x 5 +2x 4 +x 3 +2.

Решение . Функция определена на всей числовой прямой. Найдем ее производную: y ’=5 x 4 +8 x 3 +3 x 2 . y ’=0 при x 2 (5 x 2 +8 x +3)=0 , то есть при х=<0; -1; -0,6>. Определив знаки производной, получим, что при при х Î [-1; -0,6] функция убывает, а при х Î (- ¥ ; -1] È ]-0,6; + ¥ ) – возрастает .

Пример 2. Решить неравенство 5 x +2 x >7.

Решение . Каждая из функций y=5 x , y=2 x непрерывна и возрастает на всей числовой прямой. Значит, какой же является и функция y =5 x +2 x . Легко видеть, что при х=0 функция y =5 x +2 x принимает значение 7. в силу непрерывности и монотонности этой функции при х>0 имеем 5 x +2 x >7, при x – 5 x +2 x .

Читайте также:  Как действует шокер на человека

Ответ

источник

Пусть \(y = f\left( x \right)\) является дифференцируемой функцией на интервале \(\left( \right).\) Функция называется возрастающей (или неубывающей ) на данном интервале, если для любых точек \(, \in \left( \right),\) таких, что \( строго возрастающей на интервале \(\left( \right).\)

Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая ) и строго убывающая функции.

Введенные понятия можно сформулировать в более компактной форме. Функция \(y = f\left( x \right)\) называется

    возрастающей ( неубывающей ) на интервале \(\left( \right),\) если \[ <\forall\;, \in \left( \right):\;><строго возрастающей на интервале \(\left( \right),\) если \[ <\forall\;, \in \left( \right):\;><убывающей ( невозрастающей ) на интервале \(\left( \right),\) если \[ <\forall\;, \in \left( \right):\;><строго убывающей на интервале \(\left( \right),\) если \[ <\forall\;, \in \left( \right):\;><Рис.1

Если функция \(f\left( x \right)\) дифференцируема на интервале \(\left( \right)\) и принадлежит к одному из четырех рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется монотонной на данном интервале.

Понятия возрастания и убывания функции можно определить также и для отдельной точки \(.\) В этом случае рассматривается малая \(\delta\)-окрестность \(\left( <— \delta , + \delta > \right)\) этой точки. Функция \(y = f\left( x \right)\) является строго возрастающей в точке \(,\) если существует число \(\delta > 0,\) такое, что \[\forall\;x \in \left( <— \delta ,> \right) \Rightarrow f\left( x \right) f\left( <> \right).\] Аналогичным образом определяется строгое убывание функции \(y = f\left( x \right)\) в точке \(.\)

Снова рассмотрим функцию \(y = f\left( x \right),\) считая ее дифференцируемой на некотором интервале \(\left( \right).\) Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции.

Теорема 1 .
Для того, чтобы функция \(y = f\left( x \right)\) была возрастающей на интервале \(\left( \right),\) необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на данном интервале: \[f’\left( x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left( \right).\] Аналогичный критерий действует для случая функции, убывающей на интервале \(\left( \right):\) \[f’\left( x \right) \le 0\;\forall\;x \in \left( \right).\] Докажем обе части теоремы (необходимость и достаточность) для случая возрастающей функции.

Поскольку \(f’\left( c \right) \ge 0,\) то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно, \[f\left( <> \right) \ge f\left( <> \right).\] т.е. функция \(y = f\left( x \right)\) является возрастающей на интервале \(\left( \right).\)

Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая строго возрастающей функции.

Теорема 2 .
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале \(\left( \right)\) функция была строго возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

\(f’\left( x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left( \right);\)

Производная \(f’\left( x \right)\) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке \(\left[ <,> \right] \in \left( \right).\)

Условие \(1\) содержится в теореме \(1\) и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие \(2\) требуется для того, чтобы исключить участки постоянства функции, в которых производная функции \(f\left( x \right)\) тождественно равна нулю.

На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания или строгого убывания функции. Из теоремы \(2\) следует такая формулировка достаточного признака:

Если для всех \(x \in \left( \right)\) выполняется условие \(f’\left( x \right) > 0\) всюду в интервале \(\left( \right),\) кроме возможно лишь некоторых отдельных точек, в которых \(f’\left( x \right) = 0,\) то функция \(f\left( x \right)\) является строго возрастающей .

Соответственно, условие \(f’\left( x \right) строго убывающую функцию.

Число точек, в которых \(f’\left( x \right) = 0,\) является, как правило, конечным. Согласно теореме \(2\), они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале \(\left( \right).\)

Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке:

Если \(f’\left( <> \right) > 0\), то функция \(f\left( x \right)\) строго возрастает в точке \(\);

Если \(f’\left( <> \right) сумма функций \(f + g\) также возрастает (убывает) на этом интервале.

Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) то противоположная функция \(-f\) убывает (возрастает) на этом интервале.

Если функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) то обратная функция \(\large\frac<1>\normalsize\) убывает (возрастает) на этом интервале.

Если функции \(f\) и \(g\) возрастают (убывают) на интервале \(\left( \right)\) и, кроме того, \(f \ge 0\), \(g \ge 0\), то произведение функций \(fg\) также возрастает (убывает) на этом интервале.

Если функция \(g\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) а функция \(f\) возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right),\) где \(g:\left( \right) \to \left( \right),\) то композиция функций \(f \circ g\) (т.е. сложная функция \(y = f\left( \right)\) также возрастает (убывает) на интервале \(\left( \right).\)

Возьмем две произвольные точки \(\) и \(,\) такие что \[0 \le \lt .\] Рассмотрим разность значений функции в этих точках: \[ > \right) — f\left( <> \right) > = <\left( \right) — \left( \right) > = = <\left( <> \right)\left( <+ > \right).> \] В последнем выражении, очевидно, что \( <> > 0\) и \( <+ > > 0\) (поскольку по условию рассматриваются неотрицательные значения \(x\)). В результате получаем: \[ <\left( <> \right)\left( <+ > \right) > 0,>\;\; <\Rightarrow f\left( <> \right) — f\left( <> \right) > 0.> \] Это означает по определению, что функция \(f\left( x \right) = + 1\) является строго возрастающей на заданном интервале.

Выберем две произвольные точки \(<>\) и \(<>,\) такие что \( формуле разности кубов , получаем: \[ = <\left( <> \right)\left( + x_1^2> \right).> \] Во второй скобке можно выделить полный квадрат: \[ + x_1^2 > = \cdot \frac<<>> <2>+ \frac<> <4>+ \frac<<3x_2^2>> <4>> = <<\left( <+ \frac<<>><2>> \right)^2> + \frac<<3x_2^2>> <4>> 0.> \] Отсюда видно, что квадратичное выражение всегда положительно (оно равно нулю лишь при \( = = 0,\) что противоречит условию \( 0,\) если \( > 0,\) т.е. функция \(f\left( x \right) = \) является строго возрастающей.

Данная функция является суммой функций \(\) и \(3.\)

Первую функцию \(\) можно рассматривать как произведение двух одинаковых функций \(\). Из примера \(1\) следует, что квадратичная функция \(\) строго возрастает при \(x \ge 0.\) Следовательно, функция \(\) также строго возрастает при \(x \ge 0\) на основании свойства \(4\).

Второе слагаемое \(3\) представляет собой трехкратную сумму функций \(\) и, поэтому, также является строго возрастающей (на основании свойства \(1\)).

Итак, исходная функция \(f\left( x \right) = + 3\) является суммой двух строго возрастающих функций и, следовательно, также строго возрастает при \(x \ge 0.\)

Для контроля рассмотрим также неравенство \(f’\left( x \right) Рис.5

Таким образом, функция убывает (в строгом смысле) в интервалах \(\left( < - \infty , - 1>\right)\) и \(\left( <1, \infty>\right)\) и возрастает в промежутке \(\left( <-1, 1>\right).\) Учитывая, что корень функции равен \(x = 0,\) можно схематически нарисовать ее график (рисунок \(6\)).

Следовательно, на основании достаточного признака монотонности, функция строго возрастает при \(x \in \left( <\large\frac<1>\normalsize,\infty > \right)\) и строго убывает при \(x \in \left( <0, \large\frac<1>\normalsize> \right).\) Ее вид схематически приведен на рисунке \(10\).

На основании достаточного признака монотонности заключаем, что функция возрастает при \(x \in \left( <0,\large\frac<1><2>\normalsize> \right)\) и убывает при \(x \in \left( <\large\frac<1><2>\normalsize,1> \right).\) График функции представляет собой полуокружность с центром в точке \(\left( <\large\frac<1><2>\normalsize,0> \right)\) и радиусом \(<\large\frac<1><2>\normalsize>\) (рисунок \(14\)).

источник