Меню Рубрики

Примеры системы линейных уравнений с двумя переменными 7 класс примеры

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — 4*a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта «три на три» существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере anm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор xn — переменные, а bn — свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x3-2x4=11 и 3x3+2x4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

источник

Понять сущность этого способа проще всего на примере решения одной из типичных систем, включающей в себя два уравнения и требующей нахождения значений двух неизвестных. Так, в этом качестве может выступить следующая система, состоящая из уравнений x + 2y = 6 и x — 3y = -18. Для того чтобы решить ее методом подстановки, требуется в любом из уравнений выразить один член через другой. Например, это можно сделать, используя первое уравнение: x = 6 — 2y.

Читайте также:  Как подключить блютуз наушник к телефону

Затем необходимо подставить полученное выражение во второе уравнение вместо x. Результатом такой подстановки станет равенство вида 6 — 2y — 3y = -18. Произведя простые арифметические вычисления, это уравнение легко привести к стандартному виду 5y = 24, откуда y = 4,8. После этого полученное значение следует подставить в выражение, использованное для подстановки. Отсюда x = 6 — 2*4,8 = -3,6.

Затем целесообразно осуществить проверку полученных результатов, подставив их в оба уравнения первоначальной системы. Это даст следующие равенства: -3,6 + 2*4,8 = 6 и -3,6 — 3*4,8 = -18. Оба этих равенства являются верными, благодаря чему можно сделать вывод о том, что система решена правильно.

Второй способ решения подобных систем уравнений носит название способа сложения, который можно проиллюстрировать на основании того же примера. Для его использования следует все члены одного из уравнений умножить на определенный коэффициент, в результате чего один из них станет противоположным другому. Выбор такого коэффициента осуществляется методом подбора, причем одну и ту же систему можно правильно решить, используя разные коэффициенты.

В данном случае целесообразно произвести умножение второго уравнения на коэффициент -1. Таким образом, первое уравнение сохранит свой первоначальный вид x + 2y = 6, а второе приобретет вид -x + 3y = 18. Затем необходимо сложить полученные уравнения: x + 2y — x + 3y = 6 + 18.

Произведя простые вычисления, можно получить уравнение вида 5y = 24, которое аналогично уравнению, ставшему результатом решения системы способом подстановки. Соответственно, корни такого уравнения также окажутся теми же величинами: x = -3,6, y = 4,8. Это наглядно демонстрирует, что оба способа являются одинаково применимыми для решения систем подобного рода, и оба дают одинаковые правильные результаты.

Выбор того или иного способа может зависеть от личных предпочтений ученика или от конкретного выражения, в котором проще выразить один член через другой или подобрать коэффициент, который сделает члены двух уравнений противоположными.

источник

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для чего нужно уметь решать системы уравнений? Где они они могут пригодиться?

Все, что нужно знать о решении системы уравнений — в этой статье.

Помни, твоя цель — хорошо сдать ОГЭ или ЕГЭ и поступить в институт твоей мечты.

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной. После его решения и нахождения одной из переменных — последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно? Давай рассмотрим на примере

Пример 1.

Из второго уравнения очень просто выразить :

Теперь подставим то, что получилось вместо в первое уравнение:

Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

А теперь вернемся к выраженному и подставим в него полученное значение :

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде: . В случае трех неизвестных: , и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

Ответы:

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки. Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера. Для этого сперва выразим в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно ):

Видно, что графики пересекаются в точке с координатами .

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. То есть:

(но ни в коем случае не наоборот: )

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число :

Но раз , в правой части можем заменить на :

Пример 2

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

Вот как! просто уничтожился в результате сложения. Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо число :

Пример 3.

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом? Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла. Лучше всего умножить на :

Теперь можно складывать:

Теперь подставим в первое уравнение системы:

Теперь порешай сам (методом сложения):

Ответы:

1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными? Хм. Как из получить или из получить ? Умножать на дробное число? Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения! Например, первое на , второе на :

Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

Ответы:

Как видишь, система уравнений — базовая, но не самая сложная тема, используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:

Методы решения систем уравнений:

1. Решение методом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Решение графическим методом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

3. Решение методом сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

Но ни в коем случае не наоборот:

Мы постарались объяснить что такое системы уравнений и как их решать.

Теперь хотелось бы послушать тебя.

Получается ли у тебя решать системы уравнений?

У тебя есть вопросы? Предложения?

Напиши в комментариях.

И удачи на экзаменах!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Помогите. Произошел сбой в системе мозга( Вы все хорошо разьясняете, но надо решить систему, где в уравнениях есть степени..и тут пошло(( первое уравнение системы: 5 в степени х минус 5 в степени у равно 100 второе уравнение системы: 5 в степени х-1 плюс 5 в степени у-1 равно 30 Если есть возможность, помогите подробно разобрать его..что бы не вызывались дальнейшие трудности

Решить подобную систему достаточно легко. Нужно преобразовать её в знакомый вид. Чтобы это сделать, для начала переделайте степени второго уравнения. 5^(x-1) +5^(y-1) = 30 5^x / 5 +5^y / 5 = 30 умножим уравнение на 5 5^x + 5^y = 150 переносим 5^y в правую часть. 5^x = 150 — 5^y Теперь подставляем получившееся уравнение в первое уравнение (обычный метод подстановки) 150 — 5^y — 5^y = 100 складываем подобные — 2* 5^y = — 50 делим на 2 — 5^y = — 25 5^y = 25 5^y = 5^2 y=2 Подставляем значение в любое из уравнений, которые были даны нам в начале 5^x — 5^y = 100 5^x — 5^2 = 100 5^x — 25 = 100 5^x = 125 5^x = 5^3 x=3 Ответ готов! Получилась пара чисел (3;2)

Читайте также:  Рецепт приготовления яблочного детского пюре

источник

Су­ще­ству­ет несколь­ко ме­то­дов ре­ше­ния си­стем. Один из них метод под­ста­нов­ки. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 1:

Суть ме­то­да под­ста­нов­ки за­клю­ча­ет­ся в том, что в одном из урав­не­ний нужно вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через вто­рую и под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние.

В дан­ном слу­чае удоб­но вы­ра­зить х во вто­ром урав­не­нии:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

,

,

,

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние:

, ,

По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее ре­ше­ние си­сте­мы:

При­мер 2:

В дан­ном слу­чае неко­то­рая слож­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что ис­ход­ную си­сте­му нужно пре­об­ра­зо­вать, чтобы была воз­мож­ность удоб­но и без оши­бок при­ме­нить метод под­ста­нов­ки. Для этого умно­жим оба урав­не­ния на шесть:

Вы­ра­зим у из пер­во­го урав­не­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

, ,

,

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, пара чисел:

на дан­ном уроке мы озна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми и одним из ме­то­дов ее ре­ше­ния – спо­со­бом под­ста­нов­ки. Мы ре­ши­ли при­ме­ры для по­ни­ма­ния и за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki?konspekt&chapter_ >

Рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.

Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, как и метод под­ста­нов­ки, за­клю­ча­ет­ся в том, что из­на­чаль­но из двух урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми нужно по­лу­чить одно урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. Рас­смот­рим метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния на при­ме­ре:

При­мер 1:

За­да­на си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при под­ста­нов­ке ее в урав­не­ния по­лу­чи­лись вер­ные чис­ло­вые ра­вен­ства.

Неслож­но за­ме­тить, что в пер­вом урав­не­нии у стоит с ми­ну­сом, а во вто­ром – с плю­сом, и если сло­жить эти урав­не­ния, то у уни­что­жит­ся, и мы по­лу­чим одно урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

Под­ста­вим зна­че­ние х во вто­рое урав­не­ние и най­дем у:

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что мы рас­смат­ри­ва­ем метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, зна­чит, урав­не­ния можно не толь­ко скла­ды­вать, но и вы­чи­тать. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер

При сло­же­нии урав­не­ний по­лу­чим:

По­про­бу­ем вы­честь урав­не­ния, при­чем, вы­чтем пер­вое из вто­ро­го:

на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли новый метод ре­ше­ния си­стем двух ли­ней­ных урав­не­ний – метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Мы ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров для за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственноерешение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечноемножество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Графиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Выражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

источник

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы вспомним понятие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, ее общий вид, варианты и способы решения. Мы вспомним некоторую терминологию и решим несколько примеров.

Напомним, что из себя представляет система двух линейных уравнений с двумя переменными. Это система вида:

Из первого уравнения

Мы знаем, что множеством решений первого уравнения является множество точек, лежащих на соответствующей ему прямой, аналогично и для второго уравнения множество решений – это множество точек на другой прямой. Две прямые могут пересекаться – и тогда у системы будет единственное решение, единственная пара чисел х и у будет удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Это происходит, если

На данном уравнении можно продемонстрировать сразу несколько способов решения систем уравнений.

1 способ – способ подстановки: выразим во втором уравнении х и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Подставим найденное значение у во второе уравнение и найдем значение х:

2 способ – способ алгебраического сложения: выполним сложение уравнений:

Из полученного уравнения найдем х:

Теперь вычтем из первого уравнения системы второе:

Таким образом, мы получили решение системы двумя способами, и это решение – точка с координатами (2; 1).

В данном случае удобнее применить способ алгебраического сложения, вычтем из второго уравнения первое. Получаем:

Найдем значение у:

Подставим значение у во второе уравнение и найдем х:

В данной системе нет переменных с одинаковыми коэффициентами, но мы можем их уравнять самостоятельно, для этого выполним преобразования:

Выполним сложение уравнений:

Подставим полученное значение у в первое уравнение и определим значение х:

Разделим второе уравнение на два:

Вычтем из первого уравнения второе:

Очевидно, что полученное выражение не зависит от значений переменных системы и не является верным числовым равенством, значит, система не имеет решений. В данном случае рекомендуется графически доказать, что система не имеет решений, для этого из уравнений записать линейные функции, построить их и показать, что прямые параллельны.

Очевидно, что, если разделить второе уравнение на два, получим первое уравнение:

Мы получили два одинаковых уравнения, значит, чтобы довести решение системы до конца, можем оставить одно:

Вывод: мы рассмотрели системы двух линейных уравнений с двумя переменными, варианты и способы их решения. Мы вспомнили некоторые термины, понятия и свойства и решили примеры для закрепления техники.

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  3. ЕГЭ по математике (Источник).
  4. Школьный помощник (Источник).
  5. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
  6. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №1072, ст. 200;
  2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №1084, ст. 204;
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, №1086, ст. 204.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

источник

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы научились составлять математическую модель для решения различных прикладных задач. В результате задача сводится к технике – решению уравнения или системы уравнений. На этом уроке мы научимся решать системы уравнений, а именно системы линейных уравнений с двумя переменными.

Мы уже умеем решать линейные уравнения. Займёмся решением систем линейных уравнений, а именно таких систем, в которых есть две переменные, например:

Есть два основных метода решения любых систем уравнений:

2. Метод домножения и сложения.

Идея этого метода в следующем: пусть мы знаем значение одной из переменных. Тогда, чтобы найти вторую переменную, нужно подставить значение первой переменной в любое из уравнений. В результате получается обычное линейное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Рассмотрим в качестве примера систему уравнений:

Если нам скажут, что

Такой же результат получится, если подставить известное значение в первое уравнение:



Т. е. мы подставляем известное значение переменной, получаем линейное уравнение с одной переменной, которое мы уже умеем решать.

Но что делать, если ни одно из значений переменных нам не известно?

Предположим, что мы уже знаем значение переменной . Тогда из первого уравнения мы бы получили такое значение второй переменной:

Но значение переменной в обоих уравнениях должно получиться одинаковым:

Решим это линейное уравнение – домножим обе части уравнения на :


Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без неё – в другую:


Получим решение системы:


Ответ: .

Каждый раз выражать переменную из двух уравнений необязательно.

Из первого уравнения мы получили:

Перепишем систему в эквивалентном виде:

Говорят: «мы выразили переменную из первого уравнения».

Как мы уже говорили, раз уравнения объединены в систему, то в каждом из этих уравнений речь идёт об одних и тех же Заменим во втором уравнении на эквивалентное выражение из первого уравнения.

Дальше всё то же самое: получили линейное уравнение с одной переменной , которое мы уже умеем решать:






Как записывать ответ

Рассмотрим систему уравнений:

Её решением будет пара чисел: Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Во всех случаях понятно, о чем идет речь. Но все же запись является уравнением (так как содержит знак равенства).

Решением системы является пара чисел, а не два уравнения (как во второй и третьей записях).

Так что формально верная запись ответа здесь только одна – в виде пары чисел .

Метод подстановки, когда одно условие подставляется в другое, мы часто используем в жизни. При желании можно изучить пример использования этого принципа при поиске человека в социальных сетях.

Поиск в социальных сетях

Представьте такую ситуацию. Вы в гостях у своего друга Пети познакомились с девочкой Женей и, уже вернувшись домой, решили найти её в социальной сети.

  1. Она подруга Пети.
  2. Она тоже учится в 7 классе, хоть и в другой школе.
  3. Её зовут Женя.
  4. Она тоже живёт в Москве.
Читайте также:  Влияние энергетиков на организм человека

Каждое из этих условий в отдельности имеет очень много «решений». Друзей у Пети много, 7-классниц огромное количество, как и девочек с именем Женя.

Но так как все эти условия относятся к одному человеку, то это система условий:

Решением системы является такой человек, который соответствует сразу всем условиям. И решаем эту систему мы методом подстановки. Выбираем одно условие, затем в него подставляем другое (из всех решений, удовлетворяющих первому условию, выбираем только те, которые также удовлетворяют второму) и т. д.

Открываете страничку Пети и выбираете список всех его друзей. Это решения первого условия. Предположим, их (см. рис. 1):

Подставляем сюда второе условие. Раз она учится в

Рис. 2. Друзья Пети в возрасте от Добавляем условие, которое мы изначально забыли, но нам его подсказала сеть, – пол. Женский. Осталось . (см. рис. 3):

Рис. 3. Девочки – подруги Пети в возрасте от Ещё одно условие – город проживания Москва. Осталось человек (см. рис. 4):

Рис. 4. Девочки – подруги Пети в возрасте от Наконец, вводим имя девочки – Женя. Осталось человека (см. рис. 5):

Рис. 5. Подруги Пети по имени Женя в возрасте от Мы последовательно в одно условие подставляли другое, и так раза, т. е. решали задачу методом подстановки.

Сформулируем алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

  1. Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения через другую переменную.
  2. Подставить полученное выражение в другое уравнение.
  3. Решить уравнение с одной переменной.
  4. Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.

Практика. Метод подстановки

Пример 1. Решить систему уравнений:

Выразим из первого уравнения:

И подставим во второе уравнение:

Решим второе уравнение – для начала раскроем скобки:

Таким образом, получим следующую систему:

Во втором уравнении получили очевидный факт – верное равенство. Эта запись не несёт никакой полезной информации для нас, мы её можем исключить. Тогда останется только первое уравнение.

Система эквивалентна одному уравнению:

,

а её решение – это решение данного уравнения, которых бесконечно много.

Итак, если после подстановки мы получили верное числовое равенство, то система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Выразим из первого уравнения:

Подставим выражение во второе уравнение:

Решим полученное уравнение с одной переменной – раскроем скобки, используя распределительный закон, и получим:

Таким образом, получим следующую систему:

Получили неверное числовое равенство. Т. е. уравнение, полученное после подстановки, не имеет решения. Задаем себе вопрос: при каких значениях переменных

Одно из уравнений содержит только одну переменную. Задача становится только проще. Выражаем и подставляем во второе уравнение:



Получаем решение:

Ответ: .

Пусть у нас есть двое уравновешенных весов. Если мы пересыпаем все с левых чаш на одну чашу других весов, а с правых – на вторую, то весы также будут уравновешены. Т. е. если сложить правые и левые части верных равенств, мы также получим верное равенство.

Как мы можем использовать это для решения систем линейных уравнений? Можно сложить уравнения системы. Зачем нам это делать? Если мы в результате избавимся от одной переменной, то получим линейное уравнение с одной переменной, которое мы умеем решать.

Пример 2. Решить систему уравнений:

Мы видим, что уравнения содержат слагаемые

Мы получили линейное уравнение с одной переменной, решим его:

Теперь подставим найденное значение


Ответ: .

В этом и состоит идея метода – исключить сложением одну из переменных.

Конечно, мы рассмотрели простой пример. Редко бывает, чтобы в двух уравнениях были слагаемые с одинаковыми (по модулю) коэффициентами. Поэтому нужно научиться приводить любую систему уравнений к эквивалентному виду, содержащему такие слагаемые. Как это сделать?

Вспомним, что при умножении и делении обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число получается эквивалентное уравнение, содержащее ту же информацию (с теми же корнями).

Пример 3. Решить систему уравнений:

Умножим обе части первого уравнения на :

Заметим, что уравнения содержат слагаемые

Подставим найденное значение в первое уравнение:




Ответ: .

Сформулируем алгоритм решения систему уравнений методом домножения и сложения:

  1. Преобразовать уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной (если необходимо).
  2. Сложить отдельно левые и правые части уравнений системы.
  3. Решить уравнение с одной переменной.
  4. Найденное значение переменной подставить в любое уравнение и найти значение второй переменной.

Практика. Метод домножения и сложения

Пример 1. Решить систему уравнений:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:

Получим следующую систему:



Подставим найденное значение в первое уравнение системы:




Ответ: .

Пример 2. Решить систему уравнений:

Упростим уравнения: избавимся от знаменателей:

Раскроем скобки при помощи распределительного закона:

Приведем подобные слагаемые:

Преобразуем уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной:


Когда у системы нет решений

Вспомним пример с домом и двумя улицами:

Система этих двух условий означает, что один и тот же дом находится и на одной, и на другой улице. Решение системы: дом находится на перекрестке (см. рис. 1).

Рис. 1. Решение системы: дом находится на перекрестке

Но что, если улицы окажутся параллельными (см. рис. 2)? Тогда дом никак не может быть одновременно на двух улицах. Решения у такой системы нет.

Рис. 2. Решения у системы нет

Точно такая же ситуация с системой двух уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Построим графики уравнений. Возьмем по два решения для каждого из уравнений.

Графики параллельны. Общих точек не существует. Решения у системы нет (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1

Можно ли это было увидеть, не строя графиков? Да, можно.

Разделим обе части второго уравнения на :

Ни при каких значениях

Рис. 1. Решений у системы много

Тогда второе условие ничего не добавляет к первому. Решений много: дом может находиться в любом месте улицы.

То же самое с системой уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Найдем два решения первого уравнения: Но для второго уравнения они тоже подходят.

Т. е. графики уравнений совпадают (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

Каждая точка прямой является общей для обоих графиков, значит, является решением системы. Решений бесконечно много, они совпадают с множеством решений каждого уравнения.

Могли бы мы это увидеть без построения графика? Да, могли.

Разделим обе части второго уравнения на :

Система содержит два одинаковых уравнения. Но информация, повторенная второй раз, ничего нового не сообщает. Одно уравнение можно «удалить».

Система эквивалентна одному уравнению:

А её решения – это решения уравнения.

Рассмотрим общий вид системы линейных уравнений с двумя переменными:

Решения каждого уравнения лежат на соответствующей прямой. Для удобства выразим в каждом уравнении, чтобы получить два стандартных уравнения прямых:

(Случаи попробуйте рассмотреть самостоятельно – их отличие в том, что одна или обе прямые будут вертикальными.)

1. Если прямые совпадают, то система будет иметь бесконечное количество решений.

Для этого коэффициенты прямых должны совпадать:

2. Если прямые будут параллельны, но не будут совпадать, то система не будет иметь решений. Для этого необходимо, чтобы угловые коэффициенты были равны и чтобы свободные коэффициенты были разными:

3. Если прямые будут пересекаться, то система уравнений будет иметь одно решение. Для этого достаточно, чтобы прямые не были параллельными, т. е. их угловые коэффициенты не должны быть равны:

Обобщим сказанное выше. По виду системы линейных уравнений можно определить количество её решений:

1. Бесконечное количество решений (прямые совпадают):

2. Нет решений (прямые параллельны):

3. Одно решение (прямые пересекаются):

На этом уроке мы рассмотрели решение систем линейных уравнений, т. е. систем вида

Есть два основных метода их решения: метод подстановки и метод сложения.

  1. Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения через другую переменную.
  2. Подставить полученное выражение во второе уравнение.
  3. Решить уравнение с одной переменной.
  4. Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.
  1. Преобразовать уравнения системы так, чтобы в результате сложения получилось уравнение с одной переменной (если необходимо).
  2. Сложить отдельно левые и правые части уравнений системы.
  3. Решить уравнение с одной переменной.
  4. Найденное значение переменной подставить в любое уравнение и найти значение второй переменной.

Мы рассмотрели оба метода решения систем линейных уравнений. Как видим, есть чёткий алгоритм решения любой такой системы. А, как мы знаем, то, для чего есть чёткая инструкция – алгоритм, можно поручить компьютеру. И действительно, современные программы позволяют решать системы уравнений (причём не только линейные, но и более сложные и даже с большим количеством переменных).

Но, во-первых, разработчики таких программ сами должны понимать суть алгоритма и уметь его применять для решения систем уравнений. Во-вторых, те, кто не будут сталкиваться с такой задачей, должны понимать, что никакого чуда в работе современной техники нет (в том же навигаторе для определения координат используется решение систем уравнений) и, при необходимости, уметь составить и решить систему уравнений (например, для определения того, в какой пропорции нужно взять вещества для приготовления блюда или строительной смеси).

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. – ФГОС, М.: «Просвещение», 2017.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Решить систему уравнений методом подстановки:

2. Решить систему уравнений методом домножения и сложения:

3. Какая пара чисел

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

источник