Меню Рубрики

Перевод из двоичной в восьмеричную пример

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную или четвертичную и наоборот часто требуется для решения задач по теме Системы счисления. Чтобы перевести число из одной системы в другую, нужно использовать таблицу перевода чисел. А также можно воспользоваться онлайн калькулятором для перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Десятичная СС Двоичная СС Четвертичная СС Восьмеричная СС Шестнадцатеричная СС
1 1 1 1 1
2 10 2 2 2
3 11 3 3 3
4 100 10 4 4
5 101 11 5 5
6 110 12 6 6
7 111 13 7 7
8 1000 20 10 8
9 1001 21 11 9
10 1010 22 12 A
11 1011 23 13 B
12 1100 30 14 C
13 1101 31 15 D
14 1110 32 16 E
15 1111 33 17 F
16 10000 100 20 10

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в четвертичную, восьмеричную или шестнадцатеричную систему, нужно воспользоваться алгоритмом перевода:

  1. Разбить двоичное число справа налево на группы по 2 (для четвертичной СС), 3 (для восьмеричной СС) или 4 (для шестнадцатеричной СС) цифры. Если слева не будет хватать цифр для полной группы, нужно дописать необходимое количество незначащих нулей.
  2. Заменить каждую группу цифр на ее аналог в соответствующей системе счисления.

Перевести число 1111001102 из двоичной системы в четвертичную.

Разбиваем число на группы по 2 цифры справа налево и заменяем каждую группу на аналог в четвертичной системе счисления из таблицы:

1111001102 = 01 11 10 01 10 = 132124

Перевести число 1111001102 из двоичной системы в восьмеричную.

Разбиваем число на группы по 3 цифры справа налево и заменяем каждую группу на аналог в восьмеричной системе счисления из таблицы:

1111001102 = 111 100 110 = 7468

Перевести число 1111001102 из двоичной системы в шестнадцатеричную.

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево и заменяем каждую группу на аналог в шестнадцатеричной системе счисления из таблицы:

1111001102 = 0001 1110 0110 = 1E616

Чтобы перевести число из четвертичной, восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления в двоичную, нужно воспользоваться алгоритмом перевода:

  1. Заменить каждую цифру на двоичный аналог, состоящий из 2 (для четвертичной), 3 (для восьмеричной) или 4 (для шестнадцатеричной) цифр. Если нужно, число дополняется нулями слева.
  2. Вычеркнуть из числа незначащие нули.

Перевести число 1203234 из четвертичной системы в двоичную.

Выполняем замену каждой цифры на группу из 2 цифр в двоичной системе счисления:

1203234 = 01 10 00 11 10 11 = 110001110112

Перевести число 264750308 из восьмеричной системы в двоичную.

Выполняем замену каждой цифры на группу из 3 цифр в двоичной системе счисления:

264750308 = 010 110 100 111 101 000 011 000 = 101101001111010000110002

Перевести число 2AC0F7416 из шестнадцатеричной системы в двоичную.

Выполняем замену каждой цифры на группу из 4 цифр в двоичной системе счисления:

2AC0F7416 = 0010 1010 1100 0000 1111 0111 0100 = 101010110000001111011101002

Поделитесь статьей с одноклассниками «Как перевести из двоичной в восьмеричную, шестнадцатеричную и четвертичную системы».

источник

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2 n ), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2 1 ), восьмеричной (q = 2 3 ) и шестнадцатеричной (q = 2 4 ) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 2 i . Так как 2 = 2 1 , то i = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2 i . Так как 8 = 2 3 , то i = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 1010012 в восьмеричное:

101 0012 => 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 => 518.

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Двоичные триады 000 001 010 011 100 101 110 111
Восьмеричные цифры 1 2 3 4 5 6 7

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А2 = 0,1101012 в восьмеричную систему счисления:

Двоичные триады 110 101
Восьмеричные цифры 6 5

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 2 i . Так как 16 = 2 4 , то i = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцате-ричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А2 = 1010012 в шестнадцатеричное:

Двоичные тетрады 0010 1001
Шестнадцатеричные цифры 2 9

В результате имеем: А16 = 2916.

Переведем дробное двоичное число А2 =0,1101012 в шестнадцатеричную систему счисления:

Двоичные тетрады 1101 0100
Шестнадцатеричные цифры D 4

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа — в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А8 = 0,478 в двоичную систему счисления:

Восьмеричные цифры 4 7
Двоичные триады 100 111

Переведем целое шестнадцатеричное число А16 = АВ16 в двоичную систему счисления:

Шестнадцатеричные цифры А В
Двоичные тетрады 1010 1011

В результате имеем: А2 = 101010112

1.16. Составить таблицу соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

1.17. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие целые числа: 11112, 10101012 .

1.18. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие дробные числа: 0,011112, 0,101010112 .

1.19. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие числа: 11,012, 110,1012 .

1.20. Перевести в двоичную систему счисления следующие числа: 46,278, ЕF,1216 .

1.21. Сравнить числа, выраженные в различных системах счисления: 11012 и D16; 0,111112 и 0,228; 35,638 и 16,С16.

источник

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q :

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример 2.12. Перевести десятичное число 173 10 в восьмеричную систему счисления:

Получаем: 173 10 =255 8

Пример 2.13. Перевести десятичное число 173 10 в шестнадцатеричную систему счисления:

Получаем: 173 10 = AD 16 .

Пример 2.14. Перевести десятичное число 11 10 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

Получаем: 11 10 =1011 2 .

Пример 2.15. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363 10 в двоичное число.

Получаем: 363 10 =101101011 2

Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример 2.17. Перевести число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления.

источник

Пример перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления OnLine-сервисом www.reshinfo.com

Задача:

Число 34726, представленное в восьмеричной системе счисления, перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

Перевести восьмеричное число 34726 в двоичную систему очень просто, достаточно под каждой цифрой восьмеричного числа записать соответствующую ей двоичную триаду (группу из 3-х цифр) из следующей таблицы.

Восьмеричная
Цифра
Двоичная
Триада
000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111

Обратите внимание, что каждая триада — это есть запись соответствующей цифры в двоичной системе счисления.

Применительно к нашему числу 34726 такая подстановка выглядит следующим образом :

Таблица 2 3 4 7 2 6 011 100 111 010 110

Ответ: 347268 = 011100111010110 2

источник

Для перевода двоичных чисел в восьмеричные. Нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на тройки цифр, каждое полученное трехзначное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными тройками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем каждую триаду заменяют соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

дано двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 15738.

1. 1011101,10011 число переводим на восьмеричный,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,438;

Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления

Для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему, нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на четверки цифр, каждое полученное четырехзначное число отдельно перевести в шестнадцатеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными четверками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Двоичное число 1101111011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатиричной цирой получить шестнадцатиричное число 37В.

Пример: 101111,100011 легко перевести на шестнадцатеричную,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C16;

источник

Пример OnLine перевода шестнадцатеричного числа в восьмеричную систему счисления сервисом www.reshinfo.com

Задача:

Решение:

Для первода шестнадцатиричного числа в восьмеричную систему счисления воспользуемся двоичной системой счисления как промежуточной. То есть, сначала переведем наше число в двоичную систему, а затем полученное двоичное число переведем в восьмеричное.

Шестнадцатеричная
Цифра
Двоичная
Тетрада
0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111

Обратите внимание, что каждая тетрада — это есть запись соответствующей цифры в двоичной системе счисления.

Применительно к нашему числу 5CD8 такая подстановка выглядит следующим образом :

Таблица 2 5 C D 8 0101 1100 1101 1000

Получили двоичное число: 01011100110110002

Перевести двоичное число 0101110011011000 в восьмеричную систему достаточно просто, для этого нужно:

1) Разбить двоичное число на триады (группы из 3-х двоичных цифр), начиная с младших разрядов. Если в последней триаде (старшие разряды) будет меньше трех цифр, то дополним ее до трех нулями слева.

Для нашего двоичного числа 0101110011011000 это выглядит следующим образом :

Таблица 2
000 101 110 011 011 000

2) Под каждой триадой двоичного числа записать соответствующую ей цифру восьмеричного числа из следующей таблицы.

Двоичная
Триада
Восьмеричная
Цифра
000
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7

Обратите внимание, что каждая триада — это есть запись соответствующей восьмеричной цифры в двоичной системе счисления.

Применительно к нашему числу 0101110011011000 такая подстановка выглядит следующим образом :

Таблица 2 000 101 110 011 011 000 5 6 3 3

Ответ: 5CD816 = 056330 8

источник

Прямой и обратный перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

ЭВМ производит арифметические и логические операции над исходными числами (операндами) в двоичной системе счисления, которая называется основной. Запись чисел в двоичной системе громоздка и неудобна для человека, поэтому при записи программ широко применяются вспомогательные восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Основаниями этих систем счисления являются целые степени числа 2. Это значительно облегчает перевод их в двоичный код.

Для перевода чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2 k необходимо разбить исходное двоичное число на группы по k разрядов, начиная от запятой (вправо и влево). Каждая из этих групп рассматривается как целое число и заменяется одной цифрой в соответствии с таблицей 2. При переводе из двоичной системы счисления в восьмеричную число разбивается на триады, а при переводе в шестнадцатеричную – на тетрады.

Пример 9. Перевести число Х из двоичной системы в восьмеричную.

Разбиваем разряды исходного числа на триады. При разбиении в неполные группы справа и слева дописываются нули:

X=010 010 101 010 100, 011 010 010.

Теперь заменяем каждую группу восьмеричной цифрой в соответствии с таблицей 2. Получаем

Пример 10. Перевести число Х из двоичной системы в шестнадцатеричную.

X=0010 0101 0101 0100, 0110 1001=2554,69(16).

Пример 11. Перевести число Х из двоичной системы в шестнадцатеричную.

Разбиваем число на тетрады:

X=0001 1001 1101 1010, 1011 1110 1000=19DA,BE8(16).

Двоичная система счисления может использоваться как промежуточная при переводе чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно.

Пример 12. Перевести число X=37520,610342 из восьмеричной системы в шестнадцатеричную, используя двоичную систему в качестве промежуточной.

Переводим исходное число в двоичную систему счисления путем замены каждой восьмеричной цифры в группу из трех двоичных разрядов (триаду):

X=37520,610342(8)=011 111 101 010 000, 110 001 000 011 100 010(2).

Разбиваем полученное двоичное число на тетрады:

X=011111101010000,110001000011100010=0011 1111 0101 0000,1100 0100 0011 1000 1000.

Заменяем каждую тетраду одной шестнадцатеричной цифрой. Получим

При ручном переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную часто удобнее сначала перевести число в восьмеричную систему счисления, а затем из восьмеричной – в двоичную, чем выполнять перевод десятичного числа сразу в двоичную систему.

Пример 13. Перевести десятичное число 92 в двоичную систему счисления.

Переводим число в восьмеричную систему.

Переводим восьмеричное число в двоичное заменой каждой восьмеричной цифры двоичной триадой.

134(8)=001 011 100=1011100.

Существуют и другие способы перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Дата добавления: 2015-08-08 ; просмотров: 1104 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

источник

При переводе числа из двоичной(восьмеричной, шестнадцатеричной) системы вдесятичную надо это число представить в виде суммы произведений цифры числа и степеней основания его системы счисления.

1011012=1∙2 5 +0∙2 4 +1∙2 3 +1∙2 2 +0∙2 1 +1∙2 0 =32+0+8+4+0+1=4410

110111012=1∙2 7 +1∙2 6 +0∙2 5 +1∙2 4 +1∙2 3 +1∙2 2 +0∙2 1 +1∙2 0 =128+64+0+16+8+4+0+1=22110

0,11012=1∙2 -1 +1∙2 -2 +0∙2 -3 +1∙2 -4 =0,5+0,25+0+0,0625=0,812510

71458=7∙8 3 +1∙8 2 +4∙8 1 +5∙8 0 =7∙512+64+32+5=368510

DAEF16=13∙16 3 +10∙16 2 +14∙16 1 +15∙16 0 =13∙4096+10∙256+14∙16+15=5604710

0,D8D16=13∙16 -1 +8∙16 -2 +13∙16 -3 =13∙0,062500+8∙0,003906+13∙0,000244=0,846920010=0,8469210

а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

Выполнить перевод числа 100112в шестнадцатеричную систему счисления

Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:

0112=(112)=316

Выполнить перевод числа 101100102в шестнадцатеричную систему счисления

1011|00102

10112=B16

Выполнить перевод числа 0,00101012в шестнадцатеричную систему счисления

0102=102=216

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Выполнить перевод числа 1316в двоичную систему счисления

116= 12 = 00012;

316= 112= 00112.

После удаления незначащих нулей имеем 1316= 100112

Выполнить перевод числа AC16в двоичную систему счисления

A16=10102

C16=11002

Выполнить перевод числа 0,2A16в двоичную систему счисления

216=00102

Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный ответ: 0,2А16= 0,00101012

Аналогично переводу из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Главным отличием является то, что основанием будет 8, а не 16, и деление числа производится не тетрадами, а группами по три числа.

Выполнить перевод числа 100112в восьмеричную систему счисления

102=28

Выполнить перевод числа 101100102в восьмеричную систему счисления

10|110|0102=010|110|0102

Выполнить перевод числа 0,00101012в восьмеричную систему счисления

Перевод из восьмеричную системы счисления в двоичную:

Выполнить перевод числа 138в двоичную систему счисления

18=12=0012;

38=112=0112.

После удаления незначащих нулей имеем 138=10112

Выполнить перевод числа 1378в двоичную систему счисления

18=0012

38=0112

78=1112

Выполнить перевод числа 0,748в двоичную систему счисления

78=1112

источник

Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления

Пример №2 . Представить двоичное число 101.102 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности

Пример №1 .


Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример №2 . 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,518
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3 . 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

Пример №4 .
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления. Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления. Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.

источник

Для перевода двоичных чисел в восьмеричные. Нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на тройки цифр, каждое полученное трехзначное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными тройками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем каждую триаду заменяют соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

дано двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 15738.

1. 1011101,10011 число переводим на восьмеричный,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,438;

Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления

Перевод числа из двоичной системы в шестнадцатеричную систему

Для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему, нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на четверки цифр, каждое полученное четырехзначное число отдельно перевести в шестнадцатеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными четверками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Двоичное число 1101111011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатиричной цирой получить шестнадцатиричное число 37В.

Пример: 101111,100011 легко перевести на шестнадцатеричную,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C16;

Представим в виде таблицы:

Двоичная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе

Сложение. Операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде:

Пример: Выполним сложение двух двоичных чисел 101+11 (в десятичной системе это 5+3=8).

Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули.

Рассмотрим процесс сложения поэтапно.

1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1+1=10. В младшем разряде суммы записывается 0,и единица переносится в следующий старший разряд.

2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса: 0+1+1=10. В этом разряде суммы записывается 0, и опять единица переносится в старший разряд.

3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица перенса: 1+0+1=10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший разряд и .т.д.

В результате получили: 101

Вычитание.

При вычитании двоичных чисел нужно помнить что

Пример. Найти разность двоичных чисел: 1010-101. Выполним вычитание в столбик, начиная с младшего разряда:

Рассмотрим процесс вычитания поэтапно.

1. Для младшего разряда имеем: 0-1. Поэтому занимаем единицу в старшем разряде и находим

2. В следующем разряде уже будет 0-0=0.

3.В разряде слева опять имеем 0-1. Занимаем единицу в старшем разряде и находим 10-1=1.

4. в следующем разряде остался 0.

В результате получили: _1010

Умножение.

Пример. Найти произведение двоичных чисел: 1012 и 1102. Выполним произведение чисел в столбик, начиная с младшего разряда:

*101 Проверка: 1012=1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =5

111102= 1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =16+8+4+2+0=3010, т.е. 5*6=30

Рассмотрим процесс умножения поэтапно.

1. Умножая на младший разряд по таблице, имеем 000.

2. Умножая на следующий разряд, получаем 101, но со сдвигом на один разряд влево.

3. Умножая на старший разряд, получаем также 101, но со сдвигом на один разряд влево.

4. Теперь с учетом таблицы сложения двоичных чисел складываем и получаем результат 111102.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Самостоятельная работа студента с преподователям:

1. Задания: Представьте в виде суммы степеней основания числа:

Задания: записать следующих двоичных чисел в восьмеричной системе

1. 111101100112 6. 1101010,11002

3. Задания: записать следующих двоичных чисел в шестнадцатеричной системе 1 1. 1 1111101010102 6. 101010101,110012

2. 11010101001112 7. 101010101,10101012

4. Задания: Выполните сложение:

1. 0110+0110= 6. 1101+0110=

2. 11001+10111= 7. 1010+011=

3. 10001+11101= 8. 10111+1011=

4. 11001+11100= 9. 111010+1110=

5. 11000+11101= 10. 110011+100011=

5. Задания: Выполните вычитание:

1. 11010-01101= 6. 10111-1001=

2. 1101-0110= 7. 111011-11001=

3. 1101-111= 8. 10111-11100=

4. 10001-1011= 9. 11110-1001=

5. 11011-1001= 10. 101011-10111=

6. Задания: Выполните умнажение:

2. 11001´111= 7. 1010´101=

4. 1000´101= 9. 1110´1001=

5. 10111´1100= 10. 11011´100=

Самостоятельная работа студента:

Задания. Заполните таблицу:

Десятичная с.с. Двоичная с.с. Восьмеричная с.с. Шестнадцатиричная с.с.
I-Вариант 358,95
164А
I I -Вариант 634,67
7АС
I I I -Вариант 582,02
1Ғ6Е
IV-Вариант 369,025
4D61
V-Вариант 468.15
2D4A
VI-Вариант 654.27
5AD
VII-Вариант 286.52
1D8E
VIII-Вариант 492.025
4C61
IX-Вариант 417.75
952F
X-Вариант 744.67
78FC
XI-Вариант 542.92
4D67

1. Что называют двоичной системы счисления?

2. Что такое двоичное число?

3. Каждый разряд двоичного числа как называется?

4. Как можно перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления?

5. Как можно перевести положительную десятичную дробь в двоичную?

источник

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку «Перевести». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

число 6 3 7 2
позиция 3 2 1

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

число 1 2 8 7 . 9 2 3
позиция 3 2 1 -1 -2 -3

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

где Цn-целое число в позиции n, Д-k— дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9>, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7>, в двоичной системе счисления — из множества цифр <0,1>, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр <0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F>, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.

В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1·2 6 + 0 ·2 5 + 1·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 1·2 0 + 0·2 -1 + 0·2 -2 + 1·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3. Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C— на 12, F — на 15.

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
2 1

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x 2
0.428
x 2
0.856
x 2
1 0.712
x 2
1 0.424
x 2
0.848
x 2
1 0.696
x 2
1 0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0. 0011011.

Следовательно можно записать:

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x 2
0.25
x 2
0.5
x 2
1 0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x 16
3 0.424
x 16
6 0.784
x 16
12 0.544
x 16
8 0.704
x 16
11 0.264
x 16
4 0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x 8
4 0.096
x 8
0.768
x 8
6 0.144
x 8
1 0.152
x 8
1 0.216
x 8
1 0.728

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

источник

Читайте также:  Можно ли париться в бане при эндометриозе

Популярные записи

Как вывести пятно с джинсов
Как отучить собаку кусать хозяина
Как сделать ударно спусковой механизм в домашних условиях
Как определить что ты девушке понравился
Что значит отправить по почте наложенным платежом
Как написать письмо жириновскому о помощи через интернет образец
Тошнота и головокружение во время беременности
Сшить уголок на выписку для новорожденного
Ваз 2110 замена боковых зеркал
Как различить морских свинок мальчик или девочка