Меню Рубрики

Найти площадь параллелограмма по векторам

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.

Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье площадь параллелограмма. Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.

Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.

Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a (x1;y1;z1), а вектора b (x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:


Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.

Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними .
Теперь можем найти синус этого же угла:
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.

источник

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Выберите каким образом задается параллелограмм:

Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

источник

Здравствуйте!
В задаче нужно найти площадь параллелограмма, построенного на векторах. Помогите разобраться в этой теме.
Спасибо!

Площадь параллелограмма, который построен на векторах, можно найти как произведение длин этих векторов на синус угла между ними


Если в условии задачи заданы длины этих векторов, то найти площадь является простой задачей.
Если же длины векторов не заданы, то их нужно найти с помощью координат этих векторов.
Рассмотрим пример вычисления площади параллелограмма по векторам.

Пример 1.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a + 3b и 3a + b. Известно, что длины векторов а и b равны единице, а угол между ними составляет 30 градусов.

Решение.
Найдем произведение векторов, на которых построен параллелограмм:
(a + 3b)(3a + b) = 3a * a + a * b + 9a * b +3b * b.
Поскольку для векторов произведение а * а или b * b равно 0, то запишем:
3a * a + a * b + 9a * b +3b * b = 3 * 0 + a * b + 9b * a + 3 * 0 = a * b — 9a * b = —8a * b.
Найдем площадь параллелограмма:

Ответ. Площадь параллелограмма равна 4.

Если же вектора заданы своими координатами, то сначала нужно найти их длины, используя формулу, согласно которой длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Например, если координаты вектора равны (7; 11; 17), то его длина будет найдена по формуле:

Читайте также:  Как избавиться от кошмарных снов

источник

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах нужно вычислить модуль векторного произведения этих векторов.

Вычисляем векторное произведение векторов:

Выполняем поэлементное перемножение каждого из слагаемых:

$$ = 2[\overline

,\overline

] — [\overline

,\overline] + 6 [\overline,\overline

] — 3[\overline, \overline] = $$

Учитывая свойства векторного произведения, такие как $ [\overline

,\overline

]=0, [\overline,\overline]=0 $, $ [\overline,\overline

]=-[\overline

,\overline] $ выполняем упрощение последнего полученного выражения:

$$ = 2 \cdot 0 — [\overline

,\overline] — 6 [\overline

,\overline] — 3 \cdot 0 = -7 [\overline

,\overline] $$

Находим модуль полученного векторного произведения, подставляя из условия задания длины векторов и угол между ними:

$$ S = |-7 [\overline

,\overline] | = 7 |\overline

| |\overline| \sin \frac<\pi> <6>= 7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac<1> <2>= 7 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline = \overline

+3\overline $ и $ \overline = 2\overline

— \overline $, длины которых равны $ |\overline

|=2, |\overline| = 1 $, а угол между ними $ \varphi = \frac<\pi> <6>$

Решение

Вычисляем векторное произведение:

Выполняем попарное умножение слагаемых, из которых состоят векторы:

$$ = 2[\overline

,\overline

] — [\overline

,\overline] + 2 [\overline,\overline

]-[\overline,\overline] = $$ $$ = 2 \cdot 0 — [\overline

,\overline] — 2[\overline

,\overline]-0 = -3 [\overline

,\overline] $$

Берём модуль последнего выражения и подставляем недостающие данные из условия задачи:

$$ = 3 \cdot 2 \cdot 3 \sin \frac<\pi> <3>=18 \cdot \frac<\sqrt<3>> <2>= 9\sqrt <3>$$

источник




Пример 2
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: $ \overline = \overline

+\overline $ и $ \overline = 2\overline

-\overline $, если известны их длины $ |\overline

| = 2 $, $ |\overline| = 3 $ и угол между ними $ \varphi = \frac<\pi> <3>$

Решение

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 31. Если ваши данные не совпадают не содним из вариантов, воспользуйтесь онлайн сервисом Вычисление площади параллелограмма, построенного на векторах ОНЛАЙН

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 1 &nbsp &nbsp Вариант 2 &nbsp &nbsp Вариант 3 &nbsp &nbsp Вариант 4 &nbsp &nbsp Вариант 5 &nbsp &nbsp Вариант 6

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Вариант 7 &nbsp &nbsp Вариант 8 &nbsp &nbsp Вариант 9 &nbsp &nbsp Вариант 10 &nbsp &nbsp Вариант 11 &nbsp &nbsp Вариант 12

&nbsp &nbsp Вариант 13 &nbsp &nbsp Вариант 14 &nbsp &nbsp Вариант 15 &nbsp &nbsp Вариант 16 &nbsp &nbsp Вариант 17 &nbsp &nbsp Вариант 18

&nbsp &nbsp Вариант 19 &nbsp &nbsp Вариант 20 &nbsp &nbsp Вариант 21 &nbsp &nbsp Вариант 22 &nbsp &nbsp Вариант 23 &nbsp &nbsp Вариант 24

&nbsp &nbsp Вариант 25 &nbsp &nbsp Вариант 26 &nbsp &nbsp Вариант 27 &nbsp &nbsp Вариант 28 &nbsp &nbsp Вариант 29 &nbsp &nbsp Вариант 30

&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp Задача 4.31. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах&nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp . Если &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp угол между векторами &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp и &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp равен &nbsp &nbsp &nbsp &nbsp

источник

Векторным произведениемвектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведениедвух векторов a = x; ay; az> и b = x; by; bz> в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

Смешанным произведением некомпланарныхвекторов,взятых в данном порядке, называетсяобъём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базисправый, и знаком «–», если базислевый.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей (не меняется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер): .

2. Смешанное произведение не меняетсязнаков векторного и скалярного умножения:, поэтому смешанное произведение записывают.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене любых двух вектор-сомножителей: ,.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов ,иравно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны:,, – компланарны.

Доказательство. Предположим, что векторы ,и– не компланарны. Тогда можно построить параллелепипед имеющий объем, т.е., но это противоречит условию, согласно которого,. Следовательно, векторы,и– компланарны.

Обратно, пусть ,и– компланарны. Тогда вектори перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы,и, значит, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, напримерЭто значит, что .

Смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат:

, и.

Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

.

Приложения смешанного произведения:

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если ,и– правая тройка, еслилевая.

2. Установление компланарности векторов:

(  (,, – компланарны).

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды (тетраэдра):

, .

Пример. Компланарны ли векторы ,и, если .

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов:

векторы ,ине компланарны.

Пример. Доказать, что векторы ,икомпланарны.

Решение. Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов ,и

, т. к. определитель матрицы равен нулю, то векторы линейно зависимы, следовательно они компланарны.

Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершинына грань, если

Решение. Найдем координаты векторов:

, ,.

.

Поскольку объем тетраэдра , то высота.

Вычислим площадь основания тетраэдра

.

Итак, высота .

источник

Этот калькулятор онлайн вычисляет площадь параллелограмма построенного на векторах. Параллелограмм может быть задан координатами двух векторов или координатами трех вершин.

Онлайн калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac<2> <3>\)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac<5> <7>\)

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Определение
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, вторым и третьим.

Определение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Заметим, что условия 2 и 3 относятся к случаю, когда \( |\vec| |\vec| \sin \varphi \neq 0 \), т.е. вектор \( \vec \times \vec \neq \vec <0>\). Если же \( |\vec| |\vec| \sin \varphi = 0 \), то векторное произведение определяется только условием 1: в этом случае \( \vec \times \vec = 0 \)

источник

Найдем выражение площади через координаты векторов в ортонормированном базисе. (В произвольном базисе выражения получаются громоздкими и не несут полезной информации.)

S Π ( a , b ) = | a | | b | sin ⁡ φ = | a | | b | 1 − cos 2 ⁡ φ = | a | | b | 1 − ( a ⋅ b ) 2 | a | 2 | b | 2 = | a | 2 | b | 2 − ( a ⋅ b ) 2 <\displaystyle S_<\Pi (\mathbf ,\mathbf )>=|\mathbf ||\mathbf |\sin \varphi =|\mathbf ||\mathbf |<\sqrt <1-\cos ^<2>\varphi >>=|\mathbf ||\mathbf | <\sqrt <1-<\frac <(\mathbf \cdot \mathbf )^<2>> <|\mathbf |^<2>|\mathbf |^<2>>>>>= <\sqrt <|\mathbf |^<2>|\mathbf |^<2>-(\mathbf \cdot \mathbf )^<2>>>>
| a | 2 = a 1 2 + a 2 2 , | b | 2 = b 1 2 + b 2 2 , a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 <\displaystyle |\mathbf |^<2>=a_<1>^<2>+a_<2>^<2>,\quad |\mathbf |^<2>=b_<1>^<2>+b_<2>^<2>,\quad \mathbf \cdot \mathbf =a_<1>b_<1>+a_<2>b_<2>>
S Π ( a , b ) = a 1 2 b 1 2 + a 1 2 b 2 2 + a 2 2 b 1 2 + a 2 2 b 2 2 − a 1 2 b 1 2 − 2 a 1 b 1 a 2 b 2 − a 2 2 b 2 2 = a 1 2 b 2 2 − 2 a 1 b 2 a 2 b 1 + a 2 2 b 1 2 = | a 1 b 2 − a 2 b 1 | <\displaystyle S_<\Pi (\mathbf ,\mathbf )>=<\sqrt ^<2>b_<1>^<2>+a_<1>^<2>b_<2>^<2>+a_<2>^<2>b_<1>^<2>+a_<2>^<2>b_<2>^<2>-a_<1>^<2>b_<1>^<2>-2a_<1>b_<1>a_<2>b_<2>-a_<2>^<2>b_<2>^<2>>>=<\sqrt ^<2>b_<2>^<2>-2a_<1>b_<2>a_<2>b_<1>+a_<2>^<2>b_<1>^<2>>>=|a_<1>b_<2>-a_<2>b_<1>|>

В ортонормированной системе координат

Величина, по модулю совпадающая с площадью параллелограмма, а по знаку — с ориентацией пары векторов, определяющих его, называется ориентированной площадью параллелограмма. В ортонормированной системе координат ориентированная площадь вычисляется как определитель матрицы, по строкам которой расположены векторы, определяющие параллелограмм.

источник

Курс лекций по математике Основы векторной алгебры Примеры решения типовых задач

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Решение: Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, соответствующих двум соседним сторонам этого параллелограмма: . Длину векторов в декартовых координатах вычисляем по формуле: ; ;

Вычислить смешанное произведение , если , , .

Решение: Так как вектора заданы в декартовой системе координат, то можно воспользоваться формулой представления смешанного произведения через определитель 3-го порядка, а отсутствующие координаты в разложениях заменить нулем:

При каких значениях параметра (если таковые существуют) вектора и являются коллинеарными?

Решение: Два вектора коллинеарны, тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0; нам известны координаты векторов в декартовой системе координат, поэтому распишем векторное произведение:

, которое должно быть равно нулю. Поэтому составляем следующее уравнение: . Вектор является базисным, поэтому он не может быть равным нулю, откуда: . Решая данное уравнение относительно параметра , получаем: . Ответ: при векторы и коллинеарны.

При каком , если оно существует, векторы , и компланарны?

Решение: С одной стороны, вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю; с другой стороны можно расписать смешанное произведение через определитель 3-го порядка, откуда получаем: . Раскрываем определитель

. Это выражение должно быть равно нулю: . Решая данное уравнение относительно , получаем: . Ответ: при исходные векторы компланарны.

Смешанное произведение . Найти смешанное произведение .

Решение: Согласно определению смешанного произведения:

источник