Меню Рубрики

Как доказать что функция непрерывна

На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних — правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

Графически функция непрерывна в точке , если её график не «разрывается» в этой точке. График такой непрерывной функции — показан на рисунке ниже.

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

1. Функция определена в точке .

2. Существует предел функции в точке , при этом правый и левый пределы равны: . Правый и левый пределы вычисляются как предел вообще: в выражение функции вместо икса подставляется то, к чему стремится икс, причём вместе с плюс нулём при правом пределе и с минус нулём при левом пределе.

3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке:

А могут ли правый и левый пределы хоть когда-нибудь быть не равны, если к значению, к которому стремится икс, прибавляется или вычитается всего лишь нуль? Могут. Когда и почему — это объяснено на уроке о точках разрыва функции и их видах.

Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 — на рисунке ниже.

Пример 1. Функция f(x) определена следующим образом:

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0 .

Точка x = 1 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1 .

Точка x = 3 . Найдём левосторонний предел в этой точке:

Найдём правосторонний предел:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3 .

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Пример 2. Установить, непрерывна ли функция в точке x = 2 .

Пример 3. Установить, непрерывна ли функция в точке x = 8 .

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m , то есть l = f(m) , m≥0 .

Читайте также:  Как поставить тесто на пироги

Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l . Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f(m) изображён на рисунке. На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f(m) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

Если речь идёт о косвенном измерении y путём измерения величины x , то слова «при малом изменении x величина y меняется мало», означают: «при малой ошибке в измерении x погрешность значения y мала». Точнее говоря, погрешность значения y можно сделать сколь угодно малой, если достаточно точно измерить значение x .

Величина погрешности измерения оценивается наибольшей допустимой ошибкой или, иначе говоря, точностью измерения. Если величина x измерена с точностью , то это означает, что отклонение полученного значения x от точного значения a меньше , то есть что . Таким образом, какая бы точность ни была задана, всегда можно добиться того, чтобы отклонение f(x) от f(a) было меньше, то есть . Добиться такой точности можно, выбрав x достаточно близким к a .

Из неравенства следует неравенство .

Вернёмся к примеру с висящим грузом. Для любого заранее указанного удлинения нити можно подобрать такое значение , что если масса дополнительной нагрузки меньше , то нить удлинится менее чем на .

Определение непрерывности функции через окрестность точки. Функция является непрерывной в точке a при соблюдении двух условий:

1) функция определена в некоторой окрестности точки a ;

2) для любого существует такое , что из следует (если отклонение x от a ) меньше , то отклонение f(x) от f(a) меньше .

Исследование функции на непрерывность может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a, b] , функция непрерывна на отрезке [, b] , функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2 .

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках — 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

Найдём правосторонний предел при :

Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1,5 .

Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция

Решение.
Найдём левосторонний предел функции в точке :

Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:

Найдём левосторонний функции в точке :

Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :

Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3 .

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t , выраженная законом s = f(t) , даёт пример непрерывной функции f(t) . Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t) .

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

Читайте также:  Мобильный банк как перевести деньги

2. Функция f(x) , непрерывная на интервале [a, b] , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f(a) и f(b) . В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

3. Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения: если m — наименьшее, а M — наибольшее значение функции на интервале [a, b] , то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и . Теорема, в которой изложено это свойство, называется второй теоремой Вейерштрасса.

Пример 7. Используя первое из приведённых выше свойств непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в интервале [1; 2] .

Пусть .

Вычислим значения функции при x = 1 и x = 2 .

Получили, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков:
и , т. е.

Следовательно, в интервале [1; 2] существует такое число a , при котором f(a) = 0 . То есть, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.

Установление непрерывности функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Пример 8. Есть ли у уравнения хотя бы один вещественный корень?

Решение.
Функция определена на интервале .

Вычислим значения функции при x = 0 и .

Получили
и .

Следовательно, существует такое число a , при котором f(a) = 0 . Ответ на вопрос задачи: уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень.

источник

Let $f:\mathbb\to \mathbb$ assume that for an arbitrary interval $(a,b) \subseteq \mathbb$ inverse image $f^<-1>((a,b))$ is union (not necessarily finite) of open intervals. Show that function $f$ is continuous.

I’d be grateful for any hints, since I have problem with tackling this one

Создан 14 янв. 15 2015-01-14 00:50:15 Martin

When you say «sum of open intervals» do you mean «a *union* of open intervals»? – Milo Brandt 14 янв. 15 2015-01-14 01:23:06

yes, that’s exactly what I mean. I’ll correct that to avoid confusion – Martin 14 янв. 15 2015-01-14 01:32:22

Hint: let $x \in \mathbb$ , $varepsilon > 0$ , and define $y=f(x)$ . Then $f^<-1>((y-\varepsilon,y+\varepsilon))$ is an open set which contains $x$ . How can you use this to obtain a $delta$ as in the $varepsilon,\delta$ definition of continuity? Once you’ve done that, you conclude that $f$ is continuous at $x$ , and since $x$ was arbitrary you get that $f$ is continuous on $mathbb$ .

If you get stuck, here’s a followup hint: if $O \subset \mathbb$ is open and $x \in O$ then there is an interval $I \subset O$ centered at $x$ .

Создан 14 янв. 15 2015-01-14 00:54:40 Ian

Let $U\subset\mathbb R$ be open, then for each $x\in U$ , there is an open interval $I_x$ centered at $x$ contained in $U$ . So we can write $U=\bigcup_I_x$ . Hence $f^<-1>(U) = f^<-1>\left(\bigcup_I_x\right) = \bigcup_f^<-1>(I_x).$ By assumption, each set $f^<-1>(I_x)$ is a union of open intervals, and therefore is open. It follows that $f^<-1>(U)$ is open, which implies that $f$ is continuous.

Создан 14 янв. 15 2015-01-14 01:05:48 Math1000

why $f^<-1>(U)$ is open implies that $f$ is continuous ?? – Martin 14 янв. 15 2015-01-14 01:25:12

Because the topological definition of continuity is that if for all open $U \subset \mathbb R$, $f^<-1>(U)$ is open then $f$ is continuous. If you haven’t yet proven that this definition is equivalent to the analysis definition then that is likely the goal of this exercise. – dalastboss 14 янв. 15 2015-01-14 02:25:54

Читайте также:  Пирог с кабачками и мясом

источник

Рассмотрим функцию \(f\left( x \right)\), которая отображает множество действительных чисел \(\mathbb\) на другое подмножество \(B\) действительных чисел. Говорят, что функция \(f\left( x \right)\) является непрерывной в точке \(a \in \mathbb\), если для любого числа \(\varepsilon > 0\) существует число \(\delta > 0\), такое, что для всех \(x \in \mathbb\), удовлетворяющих соотношению \[\left| \right| непрерывной на данном интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Теорема 1.
Пусть функция \(f\left( x \right)\) непрерывна в точке \(x = a\) и \(C\) является константой. Тогда функция \(Cf\left( x \right)\) также непрерывна при \(x = a\).

Теорема 2.
Даны две функции \(\) и \(\), непрерывные в точке \(x = a\). Тогда сумма этих функций \( + \) также непрерывна в точке \(x = a\).

Теорема 3.
Предположим, что две функции \(\) и \(\) непрерывны в точке \(x = a\). Тогда произведение этих функций \( \) также непрерывно в точке \(x = a\).

Теорема 4.
Даны две функции \(\) и \(\), непрерывные при \(x = a\). Тогда отношение этих функций \(\large\frac<><>\normalsize\) также непрерывно при \(x = a\) при условии, что \( \ne 0\).

Теорема 5.
Предположим, что функция \(\) является дифференцируемой в точке \(x = a\). Тогда функция \(\) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция \(\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ \right]\), то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа \(m\) и \(M\), такие, что \[m \le f\left( x \right) \le M\] для всех \(x\) в интервале \(\left[ \right]\) (рисунок 1).

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция \(\) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале \(\left[ \right]\). Тогда, если \(c\) − некоторое число, большее \(\) и меньшее \(\), то существует число \(\), такое, что \[f\left( <> \right) = c.\] Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция секанс \(f\left( x \right) = \sec x = \large\frac<1><<\cos x>>\normalsize\) определена для всех действительных \(x\), за исключением точек \[x = \frac<\pi > <2>+ k\pi ,\;\;k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots ,\] где косинус равен нулю. Обозначим дифференциал независимой переменной \(x\) через \(\Delta x\). Вычислим соответствующий дифференциал функции \(\Delta y\). \[ <\Delta y = \sec \left( \right) — \sec x > = <\frac<1> <<\cos \left( \right)>> — \frac<1><<\cos x>> > = <\frac<<\cos - \cos \left( \right)>> <<\cos \left( \right)\cos x>> > = <\frac<< - 2\sin \left( ><2>> \right)\sin \left( < - \frac<<\Delta x>><2>> \right)>> <<\cos \left( \right)\cos x>> > = <\frac<<2\sin \left( ><2>> \right)\sin \frac<<\Delta x>><2>>> <<\cos \left( \right)\cos x>>.> \] Перейдем к пределу при \(\Delta x \to 0\). \[ <\lim\limits_<\Delta x \to 0>\Delta y = \lim\limits_ <\Delta x \to 0>\frac<<2\sin \left( ><2>> \right)\sin \frac<<\Delta x>><2>>> <<\cos \left( \right)\cos x>> > = <\lim\limits_<\Delta x \to 0>\frac<<2\sin \left( ><2>> \right)>> <<\cos \left( \right)\cos x>> \cdot \lim\limits_ <\Delta x \to 0>\sin \frac<<\Delta x>> <2>> = <\frac<<2\sin x>><<<<\cos >^2>x>> \cdot 0 = 0.> \] Полученный результат справедлив для всех \(x\) за исключением нулей косинуса: \[x = \frac<\pi > <2>+ k\pi ,\;\;k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\] Следовательно, область непрерывности и область определения функции \(f\left( x \right) = \sec x\) совпадают.

источник