Меню Рубрики

Доказать четность или нечетность функции

Четные и нечетные функции

В предыдущем параграфе мы обсуждали только те свойства функций, которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

Доказать, что у = х 4 — четная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.

Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.

Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число, можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).

Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.

Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.

В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как [0, +оо), (-2, 3), [-5, 5) — несимметричные множества. Если функция у = f (х) — четная или нечетная, то ее область определения D (f) — симметричное множество. Если же D (f) — несимметричное множество, то функция у = f(х) не является ни четной, ни нечетной.

Учитывая сказанное, рекомендуем при исследовании функции на четность использовать следующий алгоритм.

Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то переходить ко второму шагу алгоритма.
2. Найти f(-х).
3. Сравнить f (x)= f (-x)

а) если f(-х) = f(х), то функция — четная,
б) если f(-х) = -f(х), то функция — нечетная;
в) если хотя бы в одной точке х є Х выполняется соотношение f(-х) = f(х) и хотя бы в одной точке х є X выполняется соотношение f(-х) = -f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Исследовать на четность функцию:

а) у = f(x), где
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно,D (f) — симметричное множество.
2)
3) Замечаем, что для любого ж из области определения функции выполняется равенство f(x) = f(x).
Таким образом, четная функция.
б)
1) Функция определена при всех значениях х, кроме х = 0. Следовательно, D(f) — симметричное множество.
2)
3) Замечаем, что для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = -f(х).
Таким образом,
в)
1) Функция определена во всех точках х, кроме тех, которые обращают знаменатель дроби в нуль. Из условия х 2 — 9 = 0 находим х = ± 3. Значит, область определения функции — числовая прямая, из которой удалены две точки: 3 и -3. Это — симметричное множество.
2)
3) Сравнив f(-х) и f(х), замечаем, что, скорее всего, не выполняются ни тождество f(-х) = f(х), ни тождество f(-х) = -f(х). Чтобы в этом убедиться, возьмем конкретное значение х, например х = 4. Имеем: f(4) = О, а Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
г) Функция определена при условии т.е. на луче [3, +оо). Этот луч — несимметричное множество, значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

Исследовать на четность функцию:

а) D(f) = [-2,2) — симметричное множество, и для всех х выполняется равенство | -х | = | х |. Значит, заданная функция — четная.

б) D(f) = [-3, 3) — несимметричное множество. В самом деле, точка -3 принадлежит полуинтервалу [-3, 3), а противоположная точка 3 не принадлежит этому полуинтервалу. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

в) D (f) = (-5, 5) — симметричное множество и (-x) 3 = -ж 3 для всех х из интервала (-5, 5). Значит, заданная функция — нечетная.
г) Функция задана на полуинтервале, который не является симметричным множеством. Значит, функция — ни четная, ни нечетная.

Теперь обсудим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.

Пусть у = f(x) — четная функция, т.е. f(x) = f(х) для любого х е . Рассмотрим две точки графика функции: D(х; f(х)) и В(-х; f(-х)). Так как f(-х) = f(х), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами, а ординаты одинаковы. Эти точки симметричны относительно оси у (рис. 73). Таким образом, для каждой точки А графика четной функции у = f(х) существует симметричная ей относительно оси у точка В того же графика. Это означает, что график четной функции симметричен относительно оси у.

Пусть у = f(х) — нечетная функция, т.е. f(-х) = D(х) для любого х е D(f). Рассмотрим две точки графика функции: А(х; f(х)) и В(-х; f(-х)). Так как f(-х) = -f(х), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами и ординаты являются противоположными числами. Эти точки симметричны относительно начала координат (рис. 74).

Таким образом, для каждой точки А графика нечетной функции у = f(х) существует симметричная ей относительно начала координат точка В того же графика. Это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Верны и обратные утверждения:

1) Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) — четная функция.

В самом деле, симметрия графика функции у = f(х) относительно оси у означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство f(-х) = f(х), т.е. у = f(х) — четная функция.

2) Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) — нечетная функция.

Симметрия графика функции у = f(х) относительно начала координат означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство f(-х) = -f(х), т.е. у — f(х) — нечетная функция.

Исследовать на четность функцию
Решение.

Первый способ. Имеем Значит, для любого х из D(f) справедливо равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Второй способ. Графиком функции служит полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3 (см. рис.52 из § 9), она симметрична относительно оси у. Это означает, что — четная функция.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.

источник

Как создать собственный онлайн-ресурс за 3 недели
самоучитель для преподавателей

Дистанционные школы БГУ
  • Дистанционная математическая школа мехмата
  • Дистанционная школа юных историков
  • Дистанционные курсы подготовки к ЦТ филфака
Психологическое тестирование
С действующим Положением об образовательных онлайн-ресурсах БГУ можно ознакомиться на сайте БГУ в разделе Образование / Информация для профессорско-преподавательского состава

Установлены новые плагины:

Формат курса — темы кнопками, попробуйте!

  • Добавлены новые виды активности: тест в реальном времени и голосование
  • Читайте также:  Zte nubia n1 увеличение громкости

    Платформа для разработки и использования образовательных онлайн-ресурсов БГУ
    на базе LMS MOODLE 3.6.2+ — самой новой версии.

    © Белорусский государственный университет. Адрес: пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

    В 2017–18 учебном году ГУО “Институт повышения квалификации и переподготовки в области технологий информатизации и управления” БГУ предлагает оплату за подготовительные курсы производить онлайн,
    УНП 100336910, юр. адрес: Республика Беларусь, 220004 г. Минск, адрес: Ул. Кальварийская, 9-730.

    источник

    Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

    Если , то функция четная.

    Если , то функция нечетная.

    При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

    Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то найти и сравнить с

    Если то функция — четная.
    Если , то функция нечетная.

    Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

    1. Определить, является ли четной функция: .

    Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:

    – функция четна.

    Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.

    Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.

    2. Определить, является ли четной функция: .

    Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:

    =0><<1-x+x^2>>=0>>><>” title=”delim<1><<< x^2+x+1>>=0><<1-x+x^2>>=0>>><>”/>

    Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.
    Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

    Верно и следующее: если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

    3. Определить, является ли четной функция: .

    Область определения может быть найдена из системы неравенств:

    0><<1-x><>0>>><>” title=”delim<1><<</<1-x>>>0><<1-x><>0>>><>”/>

    Таким образом, область определения симметрична, и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

    Подставляем (-х) вместо х:

    – исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

    4. Определить, является ли четной функция: .

    Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

    Подставляем (-х) вместо х:

    – функция нечетна.

    5. Определить, является ли четной функция: .

    Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

    Подставляем (-х) вместо х:

    – функция четная.

    6. Определить, является ли четной функция: .

    Область определения – вся числовая ось – симметричная.

    Подставляем (-х) вместо х:

    – функция четная.

    7. Определить, является ли четной функция: .

    Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

    Подставляем (-х) вместо х:

    – функция нечетная.

    Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

    Сумма двух нечётных функций – нечётна.

    Сумма двух чётных функций – чётна.

    А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

    Определим четность этих функций по отдельности.

    – функция нечетная.

    – функция нечетная.

    8. Исследуем теперь такую функцию:

    Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

    Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

    9. Наконец, последняя:

    – имеем произведение двух функций.

    Произведение или частное двух нечётных функций чётно.

    Произведение или частное двух чётных функций чётно.

    Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

    Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

    Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

    – функция четная.

    источник

    Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
    Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x). Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения. График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.
    Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

    Если функцию нельзя назвать четной или нечетной, то такая функция является функцией общего вида, которая не обладает симметрией.
    Для того чтобы определить четность или нечетность функции, необходимо ввести функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

    Расшифровка ответов следующая:
    • even – четная функция
    • odd – нечетная функция
    • neither even nor odd – функция общего вида

    • : x^a

    источник

    Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

    Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

    Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.

    Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

    Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

    Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

    Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.

    Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.

    Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $—x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.

    Задай вопрос специалистам и получи
    ответ уже через 15 минут!

    Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

    Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

    $f\left(-x\right)=<(-x)>^2+3=x^2+3=f(x)$\textit< >следовательно, $f(x)$ — четная функция.

    Изобразим её на графике:

    Изобразим её на графике:

    $f\left(-x\right)=<\sin \left(-x\right)\ >+<\cos \left(-x\right)\ >=cosx-sinx$ следовательно, $f\left(x\right)$ — функция общего вида.

    Изобразим её на графике:

    Так и не нашли ответ
    на свой вопрос?

    Просто напиши с чем тебе
    нужна помощь

    источник

    \(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется четной, если при всех \(x\) из ее области определения верно: \(f(-x)=f(x)\) .

    График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :

    Пример: функция \(f(x)=x^2+\cos x\) является четной, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos<(-x)>=x^2+\cos x=f(x)\) .

    \(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется нечетной, если при всех \(x\) из ее области определения верно: \(f(-x)=-f(x)\) .

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

    Пример: функция \(f(x)=x^3+x\) является нечетной, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

    \(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

    Например, функция \(f(x)=x^2-x\) является суммой четной функции \(f_1=x^2\) и нечетной \(f_2=-x\) .

    Читайте также:  До скольки в рф продают алкоголь

    \(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

    1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

    2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

    3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

    4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

    5) Если \(f(x)\) — четная функция, то уравнение \(f(x)=c \ (c\in \mathbb\) ) имеет единственный корень тогда и только когда, когда \(x=0\) .

    6) Если \(f(x)\) — четная или нечетная функция, и уравнение \(f(x)=0\) имеет корень \(x=b\) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень \(x=-b\) .

    \(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется периодической на \(X\) , если для некоторого числа \(T\ne 0\) выполнено \(f(x)=f(x+T)\) , где \(x, x+T\in X\) . Наименьшее \(T\) , для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

    У периодической функции любое число вида \(nT\) , где \(n\in \mathbb\) также будет являться периодом.

    Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
    у функций \(f(x)=\sin x\) и \(f(x)=\cos x\) главный период равен \(2\pi\) , у функций \(f(x)=\mathrm\,x\) и \(f(x)=\mathrm\,x\) главный период равен \(\pi\) .

    Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

    \(\blacktriangleright\) Область определения \(D(f)\) функции \(f(x)\) — это множество, состоящее из всех значений аргумента \(x\) , при которых функция имеет смысл (определена).

    Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x+1\) область определения: \(x\in [0;+\infty)\) .

    \(\blacktriangleright\) Область значений \(E(f)\) функции \(f(x)\) — это множество, состоящее из всех значений функции \(f(a)\) , где \(a\in D(f)\) .

    Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x +1\) область значений: \(f(x)\in [1;+\infty)\) .

    \(\blacktriangleright\) Уравнение \(f(x)=a\) имеет решение тогда и только тогда, когда \(a\) принадлежит области значений функции \(f(x)\) , т.е. \(a\in E(f)\) .

    \(\blacktriangleright\) Если область значений функции \(f(x)\) не превышает некоторого числа \(A\) , т.е. \(f(x)\leq A\) при всех \(x\in D(f)\) , а функция \(g(x)\geq A\) при всех \(x\in D(g)\) , то уравнение \[<\large> \Leftrightarrow \begin f(x)=A\\g(x)=A\end\]

    При каких значениях параметра \(a\) уравнение

    имеет единственное решение?

    Заметим, что так как \(x^2\) и \(\cos x\) — четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\) , оно также будет иметь и корень \(-x_0\) .
    Действительно, пусть \(x_0\) – корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm\,(\cos x_0)+a^2=0\) верно. Подставим \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm\,(\cos x_0)+a^2=0\) .

    Таким образом, если \(x_0\ne 0\) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, \(x_0=0\) . Тогда:

    \[2\cdot 0+a\mathrm\,(\cos 0)+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2+a\mathrm\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin\begin &a=0\\ &a=-\mathrm\,1 \end \end\right.\]

    Мы получили два значения параметра \(a\) . Заметим, что мы использовали то, что \(x=0\) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра \(a\) в исходное уравнение и проверить, при каких именно \(a\) корень \(x=0\) действительно будет единственным.

    1) Если \(a=0\) , то уравнение примет вид \(2x^2=0\) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень \(x=0\) . Следовательно, значение \(a=0\) нам подходит.

    2) Если \(a=-\mathrm\,1\) , то уравнение примет вид \[2x^2-\mathrm\,1\cdot \mathrm\,(\cos x)+\mathrm^2\,1=0\] Перепишем уравнение в виде \[2x^2+\mathrm^2\,1=\mathrm\,1\cdot \mathrm\,(\cos x)\qquad (*)\] Так как \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , то \(-\mathrm\,1\leqslant \mathrm\,(\cos x)\leqslant \mathrm\,1\) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку \([-\mathrm^2\,1; \mathrm^2\,1]\) .

    Так как \(x^2\geqslant 0\) , то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+ \mathrm^2\,1\) .

    Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm^2\,1\) . А это значит, что \[\begin 2x^2+\mathrm^2\,1=\mathrm^2\,1 \\ \mathrm\,1\cdot \mathrm\,(\cos x)=\mathrm^2\,1 \end \quad\Leftrightarrow\quad \begin x=0\\ \mathrm\,(\cos x)=\mathrm\,1 \end\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm\,1\) нам подходит.

    Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых график функции \[f(x)=3\mathrm\,\dfrac5 +2\sin \dfrac<8\pi a-3x>4\]

    симметричен относительно начала координат.

    Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

    \[\begin &3\mathrm\,\left(-\dfrac5\right)+2\sin \dfrac<8\pi a+3x>4= -\left(3\mathrm\,\left(\dfrac5\right)+2\sin \dfrac<8\pi a-3x>4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm\,\dfrac5+2\sin \dfrac<8\pi a+3x>4= -\left(3\mathrm\,\left(\dfrac5\right)+2\sin \dfrac<8\pi a-3x>4\right) \quad \Rightarrow\\[3ex] \Rightarrow\quad &\sin \dfrac<8\pi a+3x>4+\sin \dfrac<8\pi a-3x>4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac<8\pi a+3x>4+\dfrac<8\pi a-3x>4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac<8\pi a+3x>4-\dfrac<8\pi a-3x>4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end\]

    Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\) , следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb\) .

    Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \[f(x)=|a+2|\sqrt[3]x\] имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac<16>3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

    (Задача от подписчиков)

    Так как \(f(x)\) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\) . Таким образом, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , а это отрезок длиной \(\dfrac<16>3\) , функция \(f(x)=ax^2\) .

    1) Пусть \(a>0\) . Тогда график функции \(f(x)\) будет выглядеть следующим образом:

    Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrt[3]x\) проходил через точку \(A\) :

    Следовательно, \[\dfrac<64>9a=|a+2|\cdot \sqrt[3]8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &9(a+2)=32a\\ &9(a+2)=-32a \end \end\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &a=\dfrac<18><23>\\[2ex] &a=-\dfrac<18> <41>\end \end\right.\] Так как \(a>0\) , то подходит \(a=\dfrac<18><23>\) .

    2) Пусть \(a . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

    Нужно, чтобы график \(g(x)\) прошел через точку \(B\) : \[\dfrac<64>9a=|a+2|\cdot \sqrt[3] <-8>\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &a=\dfrac<18><23>\\[2ex] &a=-\dfrac<18> <41>\end \end\right.\] Так как \(a , то подходит \(a=-\dfrac<18><41>\) .

    3) Случай, когда \(a=0\) , не подходит, так как тогда \(f(x)=0\) при всех \(x\) , \(g(x)=2\sqrt[3]x\) и уравнение будет иметь только 1 корень.

    Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \[a^2-7a+7\sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|\]

    имеет хотя бы один корень.

    (Задача от подписчиков)

    Перепишем уравнение в виде \[7\sqrt<2x^2+49>=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\] и рассмотрим две функции: \(g(x)=7\sqrt<2x^2+49>\) и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\) .
    Функция \(g(x)\) является четной, имеет точку минимума \(x=0\) (причем \(g(0)=49\) ).
    Функция \(f(x)\) при \(x>0\) является убывающей, а при \(x – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
    Действительно, при \(x>0\) второй модуль раскроется положительно ( \(|x|=x\) ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, \(f(x)\) будет равно \(kx+A\) , где \(A\) – выражение от \(a\) , а \(k\) равно либо \(-9\) , либо \(-3\) . При \(x наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
    Найдем значение \(f\) в точке максимума: \[f(0)=-a^2+7a+21|a|\]

    Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\) и \(g\) имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \[f(0)\geqslant g(0) \quad\Rightarrow\quad -a^2+7a+21|a|\geqslant 49 \quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin \begin &\begin a>0\\ a^2-28a+49\leqslant 0 \end\\ &\begin a Решая данную совокупность систем, получим ответ: \[a\in \<-7\>\cup [14-7\sqrt3;14+7\sqrt3]\]

    Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \[2^+(a-10)\cdot (\sqrt2)^+12-a=0\]

    имеет шесть различных решений.

    Сделаем замену \((\sqrt2)^=t\) , \(t>0\) . Тогда уравнение примет вид \[t^2+(a-10)t+12-a=0\quad (*)\] Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
    Заметим, что квадратное уравнение \((*)\) может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение \((*)\) имеет два различных решения (положительных!, так как \(t\) должно быть больше нуля) \(t_1\) и \(t_2\) , то, сделав обратную замену, мы получим: \[\left[\begin\begin &(\sqrt2)^=t_1\\[2ex] &(\sqrt2)^=t_2\end\end\right.\] Так как любое положительное число можно представить как \(\sqrt2\) в какой-то степени, например, \(t_1=(\sqrt2)^ <\log_<\sqrt2>t_1>\) , то первое уравнение совокупности перепишется в виде \[x^3-3x^2+4=\log_ <\sqrt2>t_1\] Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
    Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение \((*)\) должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
    Очевидно, что если квадратное уравнение \((*)\) будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

    Читайте также:  Как вести себя на допросе у следователя в качестве свидетеля в россии

    Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

    1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]

    2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin 12-a>0\\-(a-10)>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a

    Таким образом, мы уже обеспечили себе два различных положительных корня \(t_1\) и \(t_2\) .

    3) Давайте посмотрим на такое уравнение \[x^3-3x^2+4=\log_ <\sqrt2>t\] При каких \(t\) оно будет иметь три различных решения?
    Рассмотрим функцию \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
    Можно разложить на множители: \[x^3-3x^2+4=x^3+x^2-4x^2+4=x^2(x+1)-4(x+1)(x-1)=(x+1)(x-2)^2\] Следовательно, ее нули: \(x=-1;2\) .
    Если найти производную \(f'(x)=3x^2-6x\) , то мы получим две точки экстремума \(x_=0, x_=2\) .
    Следовательно, график выглядит так:

    Мы видим, что любая горизонтальная прямая \(y=k\) , где \(0 , пересекает график в трех точках. При всех остальных значениях \(k\) будет меньше трех точек пересечения. Следовательно, для того, чтобы уравнение \(x^3-3x^2+4=\log_ <\sqrt2>t\) имело три различных решения, нужно, чтобы \(0 .
    Таким образом, нужно: \[\begin 0 Давайте также сразу заметим, что если числа \(t_1\) и \(t_2\) различны, то и числа \(\log_<\sqrt2>t_1\) и \(\log_<\sqrt2>t_2\) будут различны, значит, и уравнения \(x^3-3x^2+4=\log_ <\sqrt2>t_1\) и \(x^3-3x^2+4=\log_ <\sqrt2>t_2\) будут иметь несовпадающие между собой корни.
    Систему \((**)\) можно переписать так: \[\begin 1

    Таким образом, мы определили, что оба корня уравнения \((*)\) должны лежать в интервале \((1;4)\) . Как записать это условие?
    В явном виде выписывать корни мы не будем.
    Рассмотрим функцию \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Ее график – парабола с ветвями вверх, которая имеет две точки пересечения с осью абсцисс (это условие мы записали в пункте 1)). Как должен выглядеть ее график, чтобы точки пересечения с осью абсцисс были в интервале \((1;4)\) ? Так:

    Во-первых, значения \(g(1)\) и \(g(4)\) функции в точках \(1\) и \(4\) должны быть положительными, во-вторых, вершина параболы \(t_0\) должна также находиться в интервале \((1;4)\) . Следовательно, можно записать систему: \[\begin 1+a-10+12-a>0\\[1ex] 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\[2ex] 1 \(a\) , найденные в 1-ом, 2-ом и 3-ем пунктах, и мы получим ответ: \[\begin a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a Ответ:

    источник

    Пусть функция задается формулой: y=2x^<2>-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5)^<2>-3=-2,5 .

    Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^<2>-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

    x −2 −1 1 2 3
    y −4 −3 −2 −1 1

    Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

    Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

    Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .

    Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .

    Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

    Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

    D(f)=(-\infty ; +\infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^<3>-7 \cdot (-x)^<7>= -3x^<3>+7x^<7>= -(3x^<3>-7x^<7>)= -f(x) .

    Значит, функция f(x)=3x^<3>-7x^ <7>является нечетной.

    Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T \neq 0 .

    Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .

    Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

    f(x) > 0 на (x_<1>; x_<2>) \cup (x_<3>; +\infty )

    Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) — отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

    f(x) на (-\infty; x_ <1>) \cup (x_<2>; x_ <3>)

    Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A , для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X .

    Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt<1+x^<2>> так как y=\sqrt<1+x^<2>> \geq 1 для любого x .

    Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B , для которого выполняется неравенство f(x) \neq B для любого x \in X .

    Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt<1-x^<2>>, x \in [-1;1] так как y=\sqrt<1+x^<2>> \neq 1 для любого x \in [-1;1] .

    Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .

    Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .

    О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) > y(x_<2>) .

    Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_ <1>и x_ <2>, причем x_ <1>> x_ <2>, будет y(x_<1>) .

    Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).

    а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x

    б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x

    в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x

    г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x

    Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_ <0>, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_ <0>), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_<0>) . y_ — обозначение функции в точке min.

    Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_ <0>, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_ <0>), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) . y_ — обозначение функции в точке max.

    Согласно теореме Ферма: f'(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_ <0>, появится экстремум в этой точке.

    1. Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_ <0>будет точкой минимума;
    2. x_ <0>— будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_ <0>.
    1. Ищется производная f'(x) ;
    2. Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку [a; b] ;
    3. Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции, а большее — наибольшим.

    источник

    Четной называется функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно оси ординат): $$f(-x)=f(x).$$

    Нечетной называется функция, которая меняет свое значение при изменении знака независимой переменной (график такой функции симметричен относительно начала координат): $$f(-x)=-f(x).$$

    Индифферентной называется функция, которая не обладает симметрией.

    $$\sin x$$ — нечетная функция

    $$\cos x$$ — четная функция

    $$\textx$$ — нечетная функция

    $$\textx$$ — нечетная функция

    Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции): существует такое ненулевое число $$T$$ (период), что на всей области определения функции выполняется равенство $$f(x)=f(x+T).$$

    Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.

    $$\sin x,\;\cos x$$ — периодические функции с наименьшим положительным периодом $$2\pi:$$

    $$\sin(x+2k\pi)=\sin x,\;\cos(x+2k\pi)=\cos x,\;k\in\mathbb.$$

    $$\textx,\;\textx$$ — периодические функции с наименьшим положительным периодом $$\pi:$$

    Если у Вас возникают трудности, то опытный репетитор (Донецк, онлайн занятия) поможет Вам в подготовке к ВНО (ЗНО) по математике.

    источник