Меню Рубрики

Для чего в жизни нужны логарифмы

Как применить логарифмы себе на пользу в любое время дня и ночи?

В каких ситуациях они могут помочь?

В чем их практическая польза для простого обывателя?

Как ими оперировать легко и просто в домашнем хозяйстве на уровне молотка и отвертки, шпагата, грядки или шпината?

В чем разница в применении десятичных и натуральных логарифмов на практике на уровне домохозяйки?

«А зачем мне, собственно, [вот это] нужно? Как мне оно в жизни пригодится?»

У «простых обывателей» часто возникает подобные вопросы. Они совершенно однотипны и могут задаваться относительно логарифмов, матриц, философии Канта, дифференциалов, уравнений хим. реакций и прочее и прочее. Поскольку под «жизнью» обычно подразумеваются повседневные дела по типу протереть пыль, сходить в магазин, зашить свои носки и т.д., то ответ прост: никак.

Логарифмы предназначены для упрощения сложных математических вычислений. Сложить цены покупок — это не сложные вычисления. Там логарифмы совершенно не нужны.

Логарифм — это специфический инструмент с конкретной задачей: решение показательного уравнения a^x=b. Его не используют для иных целей весьма ограничено и, зачастую лишь косвенно. Приведу простую аналогию. Вы можете помадой подкрасить губы, но не будете же вы ей делать записи на листке? Вы, конечно, можете где-то старой жёсткой зубной щёткой счистить с ботинка грязь, но вы же не будете ей подметать весь пол?

Перейдём к применению в быту. Да, оно вполне возможно. Нет, логарифмы не подойдут ни для составления меню на вечер, ни для расчёта затрат на поездку на море и даже ни для выбора себе тёплой куртки на зиму. Но вот если, к примеру, у вас за окном ходит электричка (согласно расписанию производя шум и заставляя вибрировать вещи) за тонкой стенкой совершает кульбиты соседская стиральная машинка, а в квартире под вами изучает гаммы мальчик со скрипочкой, то вы непременно захотите сделать шумо- и виброизоляцию. Конечно, вы можете сразу отправиться на рынок и выкупить какую-нибудь изоляцию и прибить её к стенам гвоздями (прям в бетон, а что такого?), но с удивлением обнажите, что звуки никуда не делись, а лишь стали чуть тише: электричка всё также грохочет, а скрипка противно скрипит. Конечно, вы можете нанять рабочую бригаду, вот только если бригадир её недостаточно специально обучен, и тоже не очень хорошо понимает, а зачем ему вся эта математика, то вы раскуете мало того, что потратится, так ещё и остаться с предыдущем результатом. Третьим вариантом будет самостоятельный расчёт уровней шума и вибраций в комнатах и последующий рассчёт минимальной толщины звуко- и вибро- изоляции. И для данного случая вам будет необходимо иметь представление о логарифмах. И когда вы рассчитаете толщину (и подберёте материал), то при правильном креплении вы обнаружите, что шум снизился до приемлемого уровня.

Очень интересный вопрос! Ну и загадку же вы загадали, казалось бы, причем тут «страшные» логарифмы и повседневная жизнь? А вдруг мы невольно пользуемся логарифмами в реальной жизни, не подозревая об этом?

Посмотрим на значения десятичных логарифмов:

Тут мы видим интересное свойство — логарифмы позволяют компактно представить широкий диапазон значений. Там, где исходное значение увеличивалось кратно (геометрическая прогрессия), логарифм этого значения изменялся на единицы (арифметическая прогрессия). Это свойство позволяет использовать логарифмы, и не только десятичные, во всевозможных шкалах, ведь логарифмы позволяют преобразовывать кратные значения в равномерную шкалу, что немаловажно.Так, логарифмическими являются шкала громкости звука, шкала Рихтера, шкала яркости звёзд. Основания логарифмов в этих шкалах разные, например, логарифмы шкалы громкости звука имеют основание 10, а логарифмы шкалы яркости звёзд — корень пятой степени из 100. Да что и говорить, даже клавиши рояля расположены по логарифмической линейке!

Есть место логарифмам и в области психофизиологии. Основной психофизический закон, открытый немецким учёным Фехнером утверждает (в упрощенной формулировке), что

То есть субъективное ощущение пропорционально логарифму интенсивности стимула. Фехнер заметил, что каждый человек имеет собственную чувствительность к раздражителям, которая зависит от физиологических особенностей человека, а так же от того, какое из чувств задействовано. Например, воспринимаемая яркость или громкость пропорциональна логарифму интенсивности их фактической величины, измеренной при помощи приборов.

В качестве примера Фехнер приводил следующее: представим, что мы находимся в комнате, освещённой только одной свечой. Если в неё внести вторую свечу, то прирост яркости освещения будет нам казаться более весомым, чем если бы мы внесли ещё одну свечу в комнату, где находится 10 свечей.

Закону Фехнера подчиняются зрение, обоняние, осязание, слух, вкус, эмоции, память. Объяснение этому можно найти такое. Представьте себе, что зрение человека способно воспринимать сигналы, различающиеся по силе в 1010 раз (приблизительно), это довольно большой диапазон, способный дать огромную нагрузку на рецепторы сетчатки глаза, которая может даже привести к их гибели. Поэтому природа научилась логарифмировать все поступающие раздражители путём биологических ограничений. Интересно, что логарифмические спирали в природе можно увидеть повсюду: в расположении семян в подсолнечника, в раковинах моллюсков и т.д.

В быту мы тоже используем логарифмические шкалы: делим города на стотысячники и миллионники, богатых людей подразделяем на миллионеров и миллиардеров и т.д. Можно привести пример покупок. Представьте, что вы покупаете небольшой набор продуктов. Если речь идёт об экономии денежных средств, то экономить мы будем каждый рубль. А покупая что-то более крупное, например, холодильник, обращать внимание мы будем уже на сотни рублей.

Очевидно, в быту мы пользуемся логарифмами с основанием 10, скорее всего, это связано с тем, что пользуемся мы десятичной системой счисления.

К отличному ответу Атенаис(именно этот ответ я считаю лучшим) хочется добавить лишь маленькое дополнение описывающее механическую реализацию логарифмов: оно очень наглядно и очевидно стоит только взглянуть на предмет в котором оно реализуется.

Это раструбы звуковых излучателей(динамики аудиоколонок, раструбы саксофонов и т.п.,), отражатели фар и фонариков, форма косы или серпа, лучшие ножи для мясорубки так же имеют режущую кромку в форме логарифмической кривой, динамика изменения прирастающих величин так же зачастую идет по логарифмической кривой: прирост урожая зерна, поголовья стада; так же и нагрузки или усилия в зависимости от угла вектора прилагаемого усилия изменяются по логарифмической кривой; струя воды при выливании жидкости из емкости тоже имеет форму логарифмической кривой, как и полет прыгнувшего человека или брошенного предмета; сила натяжение веревок или давления расширяющейся намокающей древесины(вставленная в углубление в камне оно способно раскалывать каменные глыбы) или ростка под асфальтоми — тоже изменяется по логарифмической кривой; форма когтей животных, кончика иглы или острия лезвия бритвы так же имеет логарифмическую зависимость для реализации такой же зависимости выражающей легкость проникания сквозь вещество в зависимости от площади приложения усилия: чем тоньше кончик инструмента(предмета) — тем легче он будет погружаться или протыкать другой предмет, и кривая зависимости при этом — тоже логарифмическая; лопасти вентилятора так имеют логарифмическую кривую; запекание пирога в духовеке так же имеет логарифмическую зависимость от времени: долго ждать пока прогреется да запечется, но чем ближе к завершению — тем быстрее идет изменение качества пирога и в конечном итоге стоит лишь чуть передержать и пирог может быть испорчен; переход количества в качество так же имеет логарифмическую зависимость; — и на этих распространенных примерах легко обнаружить что логарифмы мы не только применяем в повседневной жизни, но даже и живем по их законам: изменение концентрации гормонов, содержания соли или сахара в крови, интенсивность прилагаемых усилий, утомляемость, самочувствие, и тысячи и миллионы других процессов, тканей, потоков и напряженностей — все они послушны логарифмичексим законам, как например концентрация ароматизатора в воздухе и его интенсивность запаха так же будут в логарифмической зависимости.

А помните выражение «на порядок лучше(или выше)» — эта фраза выражает именно логарифм: в десять раз лучше(или в несколько раз, например как в музыке «на порядок выше» может означать на 1 октаву вверх, частота звуков которой в 2 раза выше аналогичных звуков предыдущей октавы). И очнь-очень многие ею пользуются, не осознавая её логарифмической природы.

К сожалению, в наших школах не принято объяснять, при каких обстоятельствах и зачем было сделано то или иное открытие. Не являются исключением и логарифмы. А предыстория этого дела такова. В отличие от простейших арифметических операций сложения и умножения в прежние века умножать и делить многозначные чила было занятием очень непростым и утомительным. (попробуйте на листочке умножить 1,23456789 га 9,87654321). Но шотландский математик Непер в начале 18 века обратил внимание на такое замечательное свойство степенной функции, как сопряжение операций умножения и сложения, т.е. (a^x)(a^y)=a^(x+y). Логарифм — это операция обратная возведению в степень. И он подумал, а что, если использовать это свойство для замены операции умножения гораздо более простой операцией сложения.

И действительно, пусть вам нужно умножить два числа. В таблице логарифмов вы находите логарифм одного множителя, логарифм другого множителя, потом складываете два этих числа и в той же таблице ищете в обратной последовательности 0 логарифмом какого числа является данная сумма.

Т.е. основная рабочая формула имеет вид

Почти 400 лет это чудесное свойство логарифмов сильно упрощало жизнь инженерам и ученым (про домохозяек этого не скажешь). Но с появлением калькуляторов и компьютеров оно стало ненужным, так же как не нужны сегодня навыки разжечь костер без спичек и зажигалки.

Так что резюме, к сожалению, таково: в повседневной жизни логарифмы Вам не пригодятся никак. Ведь даже в отсутствие калькулятора для их практического использования нужны таблицы логарифмов или логарифмическая линейка, но я как-то сильно сомневаюсь, что они у Вас всегда под рукой.

источник

Логарифмы – традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно – уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм – это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.

Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:

Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате – это четыре.)

А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

И снова пробуем подобрать икс…

Что, никак не подбирается? Два в квадрате – это четыре. Два в кубе – это уже восемь. А у нас – пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)

Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой – уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа – равноправные партнёры.)

На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс – какое-то дробное число между двойкой (2 2 = 4) и тройкой (2 3 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…

Математика решает данную проблему очень просто и элегантно – введением понятия логарифма.

Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:

Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!

Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:

А произносится эта запись вот так: «Икс равен логарифму пяти по основанию два.»

Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2 х . Запомнить очень легко.)

Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!

И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!

Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?

Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:

Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…

Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…

Читайте также:  Как доехать до сергиева посада

Например, решая показательное уравнение

про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.

А вот, решая уравнение, скажем, такое

вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:

Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:

И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ – посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был – логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)

Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.

Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?

А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.

Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?

Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:

b — собственно сама степень.

А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:

А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?

Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:

«Эн» (n) – это число, в которое надо возвести «a», чтобы получить «b». Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма – это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.

Таким образом, для возведения в степень в математике существует два разных по природе обратных действия. Это извлечение корня и нахождение логарифма. А вот, скажем для умножения обратное действие только одно – деление. Оно и понятно: любой из неизвестных множителей – что первый, что второй – ищется с помощью одной операции — деления.)

Простейшие примеры с логарифмами.

А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.

Скажем, если где-то в уравнении вы получили

то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:

А как мы поняли, что log39=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три – это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)

А чему равен, скажем, log5125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!

В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!

А вот такой пример как вам?

И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней .) Да! В нулевую! Вот и пишем:

Уловили принцип? Тогда тренируемся:

Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.

Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения – надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)

Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)

Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что

Стало быть, можно смело записать:

В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка – это корень квадратный из четырёх:

А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:

Поэтому наш логарифм будет равен:

Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) – в следующем уроке.

А теперь решаем самостоятельно.

Ответы (в беспорядке): 4,4; 0; 1; 6; 4; 2.

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

источник

Слово «логарифм» многие бывшие ученики общеобразовательных учреждений помнят со школьных уроков математики. Эта тема некоторым из них казалась сложной и непонятной. Не все из них действительно поняли, что такое логарифмы и для чего они нужны. Попробуем разобраться в этом вместе с вами.

Конечно, в математике есть определение этого слова, но оно не всем может показаться понятным. Логарифмирование – это действие, которое обратно возведению в степень. Неподготовленному человеку трудно понять, что означают эти слова, и какая от всего этого польза.

Допустим, нужно найти х в уравнении 5 х = 12. В этом случае х будет равен числу, в которое надо возвести 5, чтобы получилось 12. Используя логарифм, этот пример будет звучать так: х равен логарифму 12 по основанию 5. А выгладит уравнение так: х = log512. Если произвести вычисление на калькуляторе или компьютере, то получается иррациональное число. Чтобы было легче работать с такими числами, и создали такую математическую конструкцию, как логарифм.

Говоря простым языком, они нужны для упрощения трудных вычислений. Логарифмы обладают важными свойствами, благодаря которым умножение можно заменить простым сложением, а извлечение корня и его возведение в степень можно преобразовать в умножение и в деление.

Если логарифмы имеют одинаковое основание, то их сумма равна логарифму произведения, а разность – частного. И получается, что при математических действиях со сложными иррациональными числами, результатом становятся привычные всем натуральные числа. Если основания логарифма разные, то их можно преобразовать по формулам перехода к новому основанию.

Для упрощения подобных вычислений были созданы логарифмические таблицы. С их помощью можно было легко умножать числа, складывая их логарифмы. Более 300 лет такие таблицы расширялись и уточнялись многими математиками. С появлением возможности электронных вычислений, пользоваться логарифмами стало ещё проще. Таблицы теперь используют только в узкоспециализированных сферах.

Свойства логарифмов на практике пригодятся многим людям, занятым на производстве и в научных сферах, в которых необходимы трудоёмкие вычисления. С их помощью можно сравнивать величины, значительно отличающиеся друг от друга. Если вы нарисуете обычный график, на котором отмечены значения 10, 100 и 100 000, то маленькие значения будут практически около ноля. Но логарифмическая линейка позволяет сделать изображение таких чисел более наглядным. С помощью подобных схем часто проводится анализ сравнения шумов, что бывает полезным во многих сферах.

Где можно получить больше информации о свойствах логарифмов?

Пропустили занятие в школе, готовитесь к ЕГЭ или просто интересуетесь математикой? Тогда вам может пригодиться видеоурок на тему «Свойства логарифмов. Логарифм степени», который можно найти, перейдя по ссылке http://interneturok.ru/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/svoystva-logarifmov-logarifm-stepeni.

В рамках занятия преподаватель не только расскажет о формуле логарифма степени, но и докажет её и напомнит некоторые важные свойства логарифмов. Также можно узнать, как использовать свойства логарифма при решении распространенных примеров. Видеоурок дополнен иллюстрированным текстовым конспектом, в котором также можно найти необходимую информацию.

источник

Не буду писать про определение логарифмов, скажу, зачем они нужны. У логарифмов много полезных свойств: во-первых, логарифм как функция очень медленно растет (натуральный логарифм от 5 ≈ 0,7; от 5000 ≈ 3,7; от 5 000 000 ≈ 6,7), во-вторых, он растет монотонно [если a > b, то log(a) > log(b)], в-третьих, логарифм от произведения равен сумме логарифмов [log(a*b) = log(a)+log(b)]. Все это позволяет, например, легко сравнивать между собой произведения больших величин: не нужно считать сами произведения, достаточно посчитать их логарифмы, а чтобы узнать логарифм произведения, можно посчитать сумму логарифмов от множителей. Кроме того, логарифмы часто удобны для описания явлений природы. Например, человек воспринимает некоторые вещи «по логарифмической шкале»: воспринимаемая разница между громкостью разных звуков не всегда одна и та же, а пропорциональна их громкости (т.е. мы гораздо лучше слышим разницу между двумя тихими звуками, чем между двумя громкими). Из-за этого уровни воспринимаемой громкости (децибелы) считаются логарифмически. И вообще очень многие вещи в природе, экономике и других областях описываются при помощи экспоненциальных законов (power laws). Например самое частое слово в большом корпусе текстов обычно встречается, грубо говоря, где-то в два раза чаще, чем второе по частоте, а оно в свою очередь в два раза чаще, чем третье по частоте, и т.д. (закон Ципфа). Похожие закономерности наблюдаются в распределении размеров городов и силы землетрясений. Чтобы наглядно представлять эти измерения и с ними оперировать, удобно использовать не настоящие величины, а их логарифмы.

источник

В старших классах ученик учится только с одной целью, чтобы сдать ЕГЭ и иметь хорошие оцеки в аттестате, если бы не было этих двух мотиваторов, что бы осталось?

Давайте ответим на такой вопрос, зачем школьнику на уроке физкультуры подтягиваться на турнике и прыгать через козла, где это ему пригодится? 90% людей окончив школу через козла прыгать нигде не будет и турник не пригодится, а вот сила, ловкость, здоровая осанка, которые он получит — да.

Интегралами и производными вы дом не построите, но логическое мышление, полученное на уроках алгебры позволит вам быстро принимать решения, абстракное мышление — быстро разобраться в непонятных вещах, пространсвенное мышление — ориентироваться на местности.
Ещё Ломоносов говорил, что «математику затем надо учить, что она ум в порядок приводит».

Вы никогда не задумывались, почему профессора и учителя живут долго? Дело в том, что извилины мозга нуждаются в постоянной гимнастике как и мышцы, они быстро атрофируются если их не нагружать. Мозг командует всем организмом, а у плохого командира солдаты долго не живут. Образованные люди живут дольше — это подтверждает статистика.

А биография Ивана Грозного, спросите, какое мышление развивает? Умный человек отличается от глупого тем, что умный не повторяет ошибки других. История подсказывает нам, какие грабли нужно обходить.

Французский язык мне не пригодился, а вот новые связи между нейронами мозга, которые образовались в процессе изучения языка, наверняка. Да и слово нейрон я бы не знал, если бы не учил когда то биологию.

Так что друзья, учитесь для себя, а не для Мариванны!

источник

print(‘площадь поверхности рассматриваемой планеты равна ‘, d11).

Правдивость данной расчетной программы была проверена на примере планеты Венеры путем ввода в программу ее данных. Программа показала высокую точность и верность вычислений (см. приложение 2 )

Формулы помогают нам найти нужные значения, но для полного понимания сути существования логарифмов следует найти и изучить более наглядный материал. Навигация для этого самый лучший вариант.

Локсодромия – линия на сфере, которая пересекает под одинаковым углом меридианы. Другими словами это кривая, в каждой точке имеющая путевой угол

С использованием в навигации магнитных компасов стало зарождаться понятие локсодромии. Простой пример: самолет летит с постоянным курсом относительно меридиана, над которым пролетает, и если магнитное склонение нулевое и нет ветра, то самолет в этой ситуации осуществляет движение по линии локсодромии.

Уравнение локсодромии выглядит следующим образом: , где – постоянные для данной локсодромии величины. Для того чтобы найти долготу нужно подставить в правую часть равенства соответствующую ей широту . Локсодромия — не единственная область навигации, использующая логарифмы в своих вычислениях. Однако в данной работе будет рассмотрена только она.

Читайте также:  Как защитить дачный домик от мышей зимой

По определению локсодромии можно понять, что она представляет собой логарифмическую спираль на сфере, которая асимптотически приближается к полюсам, но никогда не пересекает их.

Итогом была проведена практическая работа по построению логарифмической спирали различными способами. В приложении 3 показана спираль, построенная путем заложения в основу программы GeoGebra уравнения логарифмической спирали в полярных координатах ( ). В приложении 4 представлена логарифмическая спираль, построенная с помощью прямоугольников, стороны которых имеют определенное отношение. Длины их сторон представлены числовым рядом Фибоначчи. Такая же работа была проведена вручную.

Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя (как мы рассматривали мощность звука), а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.

Описанные выше сведения объединяются законом психофизики, установленным Фехнером, который говорит, что мера ощущения пропорциональная логарифму величины раздражения.

Тот факт, что логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба позволяет применять понятие логарифма и в истории. Чтобы представить себе всю эволюцию нашего человечества нужно представить его историю в масштабе, который подвластен представлению. В этом на помощь приходит логарифмический масштаб (шкала). Такая система называется логарифмической шкалой времени.

Из этого следует, что логарифмы применимы в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики и так далее.

То, какое значение логарифм имеет в физике, является отдельной темой для проекта по количеству материала, имеющегося по этому направлению. Здесь будет рассмотрена только одна формула – формула Циолковского.

Формула Циолковского значительно выделяется на фоне всех приведенных в этой работе расчетов. Это достижение было важным для истории тем, что открыло новую эпоху в сфере естествознания и космонавтики. Формула предназначена для того, чтобы рассчитывать характеристическую скорость летательного аппарата, т.е. скорость которую он приобретает под действием тяги двигателя, не имея воздействия со стороны других сил. Эта формула приобретает соответствующий вид в зависимости от вида самого рассматриваемого аппарата. Речь идет о количестве ступень ракеты. Для ракет с 2-мя, 3-мя ступенями действительная более сложная формула, которая не рассматривается в данной работе. Для ракет с 1-ой ступенью используется формула более простого вида: . Где – удельный импульс ракетного двигателя, – начальная масса РН (ракета-носителя), включающая в себя массу полезной нагрузки, самого аппарата и топлива на момент старта, – «сухая масса», т.е. масса полезной нагрузки и аппарата. На данный момент существует одна ракета подобного вида, разрабатываемая в России, обладающая одной ступенью. Она называется РН «Корона» и разрабатывается уже на протяжении 25 лет. Данные необходимые для подстановки были взяты из характеристик этого ракета-носителя и написана соответствующая программа. Результаты смотрите в приложении 5.

Представьте, что в ваш город приехал фокусник, утверждающий, что может с легкостью вычислить корень высокой степени из многозначного числа. Перед представлением вы заготовили 31-ю степень какого-нибудь многозначного числа и в итоге получили пятизначное. Уверенные в том, что фокусник не сможет извлечь из него корень вы начинаете говорить «31-ая степень этого числа : пятизначное число …» и тут произошло чудо, этот волшебник уже написал вам ответ на доске, даже не услышав само число. Как так вышло?

На самом деле здесь нет ничего сложного. Есть только одно число, которое в 31-й степени дает пятизначное число. Однако даже если так, то откуда тот фокусник знал это и смог так быстро отыскать нужное число?

Для этого он заучил двузначные логарифмы для первых 15-20 чисел. Тем более эта задача сильно упрощается знанием того факта, что зная логарифмы 2,3 и 7, можно в уме легко найти логарифмы чисел первого десятка ( ).

Когда вы сказали фокуснику, что 31-ая степень числа дает пятизначное число, ему оставалось только выполнить следующее действие: . Значение этого выражения лежит где-то между 1,09 и 1,13. Этот интервал включает в себя только один логарифм от целого числа. Это 1,11 – логарифм числа 13. Конечно, чтобы такое проделать в уме нужна тренировка, но если видеть это все перед глазами, то все довольно просто.

Теперь уже перед вами стоит задача извлечь корень 64 степени из 20-значного числа. Получим: То есть значение лежит в интервале между или по-другому между 0,29 и 0,31. Такое значение только одно 0,3 – логарифм числа 2.

Использование логарифмов дает людям преимущество в виде упрощения и ускорения сложных вычислительных операций. Бесспорно, будет нерационально использовать это при умножении 6 на 3, но при действиях с по-настоящему большими числами данное преимущество значительно упростит задачу.

Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины.

В ходе работы поставленные задачи были выполнены, гипотеза подтверждена, проработана практическая часть и цель достигнута.

1. . Вильчек Ф. Красота физики: постигая устройство природы: пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Альпина нон-фикшн, 2017.

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике – Москва: Издательство: АСТ: 2017

3.Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика – Фрязино: Век 2: 2015

4 Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – СПб.: СЗКЭО, 2017

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов – Москва: государственное издательство физико-математической литературы, 1963

6. Энциклопедия для детей: Т.8. Астрономия. – 2-е изд., глав.ред. М.Д.Аксенова – М.: Аванта+, 1999

7. https://ru.wikipedia.org – Википедия, Свободная Энциклопедия

Приложение 1. Звездные величины. Расчет.

Приложение 2. Площадь планеты. Расчет и проверка.

Приложение 3. Логарифмическая спираль

Приложение 4. Логарифмическая спираль

Приложение 5. Формула Циолковского. Расчет и проверка.

источник

«Какая наука может быть более благородна, более восхитительна,

более полезна для человечества, чем математика»

Следуя совету А.М.Горького, всякий, изучающий математику, должен не только вобрать в себя готовые положения этой науки, но и возможно глубже познать те пути, по которым шла человеческая мысль, создавая эти положения.

Поэтому я попытаюсь выяснить историю возникновения, развития логарифмов и значимость логарифмов в жизни человека. Дело в том, что на протяжении 16 века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчетах.

Тогда математики для облегчения вычислений придумали логарифмы. И три столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные шотландским математиком Джоном Непером (1550–1617), они верой и правдой служили астрономам и инженерам, геодезистам и морякам, сокращая время на вычисления и тем самым, как сказал знаменитый французский учёный Лаплас (1749 – 1827), удлиняя жизнь вычислителям. «Канон о логарифмах» Джона Непера начинался так: «Осознав, что в математике нет ничего более скучного и утомительного, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, и что названные операции являются бесполезной тратой времени и неиссякаемым источником неуловимых ошибок, я решил найти простое и надежное средство, чтобы избавиться от них»

Проблема: общеизвестно, что в школьном курсе алгебры изучаются логарифмы и логарифмические функции. Мне стало интересно, что же скрывается за этим загадочным понятием, и в моей голове возникли вопросы: «Для чего нужны логарифмы? Логарифмы – прихоть математиков или жизненная необходимость?»

Цель: доказать, что существует практическое применение логарифмов в повседневной жизни.

Изучить литературу по данной теме.

Познакомиться с понятием логарифма и некоторыми свойствами логарифмов.

Провести опрос среди учителей гимназии им. С.В.Байменова и учеников 11-х классов по вопросу применения математики, в частности логарифмов, в жизни человека.

Проанализировать полученные данные.

Сделать вывод о значимости логарифмов в практической деятельности человека.

Актуальность: при изучении новых понятий или новых разделов математики мы, ученики, часто скептически и с некоторой долей недоверия воспринимаем ту или иную теорию, хотя преподаватель в общем виде объясняет значимость вводимого понятия. Мне пришлось и от взрослых людей услышать фразу: «Вот сколько лет живу и жду, когда же мне пригодятся эти синусы и логарифмы». Поэтому своей работой я должна доказать значимость такого понятия, как логарифм. И это, я считаю, действительно актуально.

Гипотеза: Если в математике существует теория логарифмов, то существующая теория должна где-то найти применение.

Объекты исследования: логарифмы и логарифмическая функция.

Предмет исследования: история возникновения логарифмов и некоторые области практического применения логарифмической функции человеком.

Основная часть

Попытаемся более широко показать применение теории логарифмов. Как было подчёркнуто во введении, во-первых, логарифмы сегодня позволяют упрощать вычисления. Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. С помощью логарифмов можно без труда решить задачи на экономику и банковское дело, различные задачи по физике, химии и биологии. Также для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике, музыке и т.п. Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский астроном Эдмунд Гюнтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку (рис.2). Принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно сложением и вычитанием их логарифмов. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры.

Логарифмические линейки широко использовались для выполнения инженерных расчётов примерно до начала 1980-х годов, и хотя теперь её практически вытеснили из инженерного обихода микрокалькуляторы, можно смело сказать, что без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Однако в начале XXI века логарифмические линейки получили второе рождение в наручных часах: следуя моде, производители некоторых марок выпустили модели со встроенной логарифмической линейкой, выполненной в виде вращающихся колец со шкалами вокруг циферблата (рис. 3). Производители обычно называют такие устройства «навигационная линейка». Их достоинство – можно сразу, в отличие от микрокалькулятора, получить информацию, соответствующую табличной форме представления (например, таблицу расхода топлива на пройденное расстояние, перевода миль в километры, подсчёт пульса, определение скорости поезда и тому подобное). Однако, в большинстве случаев логарифмические линейки, встроенные в часы, не оснащены шкалами для вычисления значений тригонометрических функций.

Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль (рис. 4, рис. 5).

Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью, потому что в любой ее точке угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение. Логарифмическая спираль остаётся неизменной при преобразовании подобия и других различных преобразованиях. Неизменяемость спирали при преобразовании подобия является основой любопытного явления, состоящего в том, что если лист бумаги с изобра­женной на нем логарифмической спиралью быст­ро поворачивать вокруг полюса по ходу часовой стрелки или против, то можно наблюдать кажуще­еся увеличение или уменьшение спирали.

Любопытно заметить, что иррациональное число = 1,61803398875. ≈ 1.618 — это и есть так называемое «золотое сечение». Золотая спираль — частный случай логарифмической спирали, один из параметров которой связан с золотым сечением.

Логарифмы «на слуху» и в ухе

Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия.

Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха (рис.7). Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике.

Читайте также:  Как подключить айфон 5s к компьютеру как модем

Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими.

Особенности логарифмической спирали поражали не только математиков. Ее свойства удивляют и биологов, которые считают именно эту спираль своего рода стандартом биологических объектов самой разной природы. Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали (рис. 8). Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.

Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик (рис. 9). И этот факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом. Так, например, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания, т. е. угол θ между лезвием ножа и направлением скорости его вращения, остается равным и, следовательно, неизменным в силу постоянства угла μ. В зависимости от обрабатываемого материала требуется тот или иной угол резания, что обеспечивается выбором параметра соответствующей спирали. На рис. 10 представлен нож соломорезки.

Что касается гидротехники, то здесь по логарифмической спирали изгибают трубу, которая подводит поток воды к лопастям турбины (рис. 11). Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали разности длин радиус-векторов используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рис. 12, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причём одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая – против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

Звезды, шум и логарифмы

Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые абсолютные звездные величины. Яркость звезд составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5, легко понять, что «величина» звезды представляют собой логарифм её физической яркости. Оценивая яркость звезд, астроном оценивает таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Аналогично оценивается и громкость шума. Физическая «сила» этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. То есть громкость – десятичный логарифм его физической силы.

Также для определения интенсивности звука используется формула , где

N- величина громкости, S – сила звука

Применение в сельском хозяйстве

Как оказалось и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов.Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов. – закон, по которому происходит рост животных, где m–масса, — масса при рождении, e – экспонента, k – коэффициент относительной скорости роста, t – период времени.

Применение в информатике

Первая попытка измерения количества информации была предпринята в 1928 году американским ученым Ральф Хартли. Он попытался связать количество информации с числом возможных сообщений (исходов) и ввел определение логарифмической меры:

где I -количество информации, N — число равновероятных событий.

В 1948 году американский инженер и математик Клод Шеннон предложил более строгую и объективную количественную меру информации. В основополагающей работе «Математическая теория связи» он утверждал, что

семантические аспекты неуместны для измерения количества информации в технических системах. Шеннон связал количественную меру с вероятностями появления сообщений, являющихся своеобразными информационными квантами (порциями). При этом целесообразным оказалось применение логарифмической меры Хартли.

где I – количество информации, N – количество возможных событий, Pi вероятности отдельных событий

Применение логарифмов в механике.

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

I — удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо).

— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция);

Экономика банковского дела

В наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следует представленная задача: Задача 1. Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится?

Решение. Через n лет хранения денег их количество составит рублей, используя формулу сложных процентов: , где A-начальная сумма вклада, p-процентная ставка (годовая), n-срок хранения вклада (в годах), а S-накопительная (итоговая) сумма вклада.

Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле

. Значит Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет с небольшим.

Задача 2. Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в pраз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества Bединиц.

Для того чтобы это сделать, сначала напомним, то процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида . Решение.

В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда , и значит, , т.е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением

Таким образом, по данным условия мы получаем функцию . И теперь ясно, что мы ищем , при котором , т.е. надо решить уравнение .

Выполняя логарифмирование уравнения по основанию 10, получим

Логарифмы в биологии

В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога.

В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение. Для решения задачи используем полученные результаты задачи №2, в решаемой задаче

Значит, требуемое время соответствует значению выражения

, то есть примерно через 3 ч. 15 мин.

Для того, чтобы доказать, что люди, зачастую, не видят практического применения логарифмов в окружающей нас реальности, я провела опрос среди учителей и учеников 11 класса.

Проанализировав ответы на заданные им вопросы, а именно: «Знаете ли вы сферы применения логарифмов?» и «Знакомы ли вы с понятием логарифмической спирали?», выяснилось, что большая часть учеников дали отрицательные ответы на оба вопроса. Из 18 опрошенных учителей, положительный ответ на первый вопрос дали 3 человека, а на второй – 2.

Как показало исследование, область применения логарифмов не ограничивается лишь техническими науками, также она играет важную роль в литературе, психологии и даже в сельском хозяйстве. Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны, облегчить сложные и «громоздкие» вычисления и в этом им помогают логарифмы. С их помощью можно рассчитать интенсивность звука, яркость звезд, скорость летательного аппарата и даже предсказать землетрясения. В рамках данной работы рассмотрены различные сферы практического применения логарифмов. Конечно логарифмы не подойдут ни для составления меню на вечер, ни для расчёта затрат на поездку на море и даже ни для выбора себе тёплой куртки на зиму. Но вот если, к примеру, у вас за окном ходит электричка (согласно расписанию производя шум и заставляя вибрировать вещи) за тонкой стенкой совершает кульбиты соседская стиральная машинка, а в квартире под вами изучает гаммы мальчик со скрипочкой, то вы непременно захотите сделать шумо- и виброизоляцию. Конечно, вы можете сразу отправиться на рынок и выкупить какую-нибудь изоляцию и прибить её к стенам гвоздями, но с удивлением обнаружите, что звуки никуда не делись, а лишь стали чуть тише: электричка всё также грохочет, а скрипка противно скрипит. Конечно, вы можете нанять рабочую бригаду, вот только если бригадир её недостаточно специально обучен, и тоже не очень хорошо понимает, а зачем ему вся эта математика, то вы рискуете мало того, что потратиться, так ещё и остаться с предыдущим результатом. Третьим вариантом будет самостоятельный расчёт уровней шума и вибраций в комнатах и последующий расчёт минимальной толщины звуко- и виброизоляции. И для данного случая вам будет необходимо иметь представление о логарифмах. И когда вы рассчитаете толщину (и подберёте материал), то при правильном креплении вы обнаружите, что шум снизился до приемлемого уровня.

Использование логарифмов для удовлетворения практических нужд человека стало неотъемлемой частью нашей жизни. Метод использования логарифмов позволяет сократить и облегчить сложные вычисления, также он лежит в основе физических и сейсмологических процессов, протекающих в природе, помогает определить раздражимость человека в той или иной ситуации, даже люди, которые проживают в деревнях и сёлах и держат коров, с легкостью могут применять логарифмы для вычисления веса теленка. Логарифмы можно использовать при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный на данный момент.

Рассмотренные в проекте примеры убедительно показывают, что знание математики (в таком объёме) нужно не только человеку, непосредственно связанного с математикой, но и людям многих других специальностей. Хочется обратить внимание на то, что умение проводить расчёты является важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной функции.

Ни для кого не является секретом то, что население Земли растет с каждым годом, и возникают проблемы с используемым пространством. Большинство людей сегодня мечтают жить в мегаполисах с красивой архитектурой.

Современные города в большинстве своём строятся без учёта будущего роста и впоследствии возникают: пробки, загрязнения окружающей среды, снижение уровня здоровья населения.

Поэтому может быть следует строить города по принципу двойной логарифмической спирали. Кроме этого свойства логарифмической спирали можно использовать и в архитектуре. Примером этому может служить самая красивая и современная столица Казахстана – Астана. Можно построить совершенно новый мегаполис в нашей стране, с красивыми микрорайонами в виде спирали, где могут находиться здания в виде логарифмической спирали или крыши зданий спроектированные в виде спиралей.

Итак, в результате исследования можно сделать вывод, что логарифмы появились исходя из практических нужд человека, и имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам.

Использованная литература и источники

А.А.Колосов. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах (VIII – X) (издание второе, дополненное). Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР. Москва, 1963.

Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991. – 160 с.: ил.

Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. чтения IX – X кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192 с. – (Мир знаний).

Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для слушателей подготовительных отделений, абитуриентов и старшеклассников. Часть 2. – М.: Изд-во МГУ, 2010. – 435 с.

ПайтгенХ.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов: Образы комплексных динамических систем / Пер. с англ. под ред. А.Н.Шарковского. М.: Мир, 1993. – 176 с.

Весь мир в цифрах и фактах: Универс. Справ. /Сост. А.И.Будько. – Мн.: ООО «Мэджик Бук»; М.: «Рипол Классик», 2001. – 640 с.: — («Весь мир»)

Буранов И. Ф. Логарифмическая спираль в технике и в природе // Молодой ученый. — 2014. — №4. — С. 151-153.

источник