Меню Рубрики

Для чего нужны математические матрицы

Матрица – это таблица, которая заполнена определенным набором чисел в определенном порядке. Данный термин был введен в оборот выдающимся английским ученым-теоретиком Джеймсом Сильвестром. Он является одним из основоположников теории применения данных математических элементов.

На сегодняшний день они нашли широкое применение при проведении различных расчетов, которые построены на основе такого способа, как, например, нахождение обратной матрицы в различных отраслях человеческой деятельности. Этот способ базируется на определении неизвестных параметров системы различных уравнений и часто используется при проведении экономических расчетов.

Бывают следующие частные случаи данных математических компонентов: строчная, столбцовая, нулевая, квадратная, диагональная, единичная. Строчная состоит только из одной строки элементов, а столбцовая – из одного столбика чисел. Нулевая – все ее элементы равны 0. У квадратного такого математического элемента количество столбиков равно количеству строк. В свою очередь, в диагональной, расположенные на главной диагонали элементы, отличны от «0», а остальные в ней должны быть равны «0». Единичная – это один из подвидов диагональной матрицы. У нее на главной диагонали расположены только «1».

где: Ak – это общее обозначение, aij – элементы ,

(г) – пример единичной таблицы 2-го порядка;

Нахождение обратной матрицы выполняется в 3 этапа. На первом этапе определяется детерминант. На следующем шаге — все алгебраические дополнения, которые потом записываются в соответствии со своими индексами, и получается таблица алгебраических дополнений. На завершающем этапе получается обратная матрица, нахождение которой заканчивается перемножением каждого алгебраического дополнения на детерминант.

Еще одной сферой человеческой деятельности, в которой матрицы также нашли большое применение – это моделирование 3D-изображений. Подобные инструменты интегрированы в современные пакеты для реализации 3D-моделей и позволяют конструкторам производить быстро и точно необходимые расчеты. Наиболее ярким представителем таких систем является Компас-3D.

Еще одной программой, в которую интегрированы инструменты для проведения подобных расчетов, является Microsoft Office, а конкретнее – табличный процессор Excel.

источник

Разделы: Математика

Термин « матрица » имеет много значений. Например, в математике матрицей называется система элементов, имеющая вид прямоугольной таблицы, в программировании матрица – это двумерный массив, в электронике – набор проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Покерные фишки также имеют непосредственное отношение к матрице. Фишки для покера изготавливаются из высококачественного композиционного материала, зачастую с металлической сердцевиной. В свою очередь композиционный материал или композит имеет матрицу и включенные в нее армирующие элементы (исключение составляют слоистые композиты).
Матрица в фотографии – это интегральная микросхема (аналоговая или цифро-аналоговая), которая состоит из фотодиодов (светочувствительных элементов). Благодаря светочувствительной матрице происходит преобразование спроецированного на нее оптического изображения в электрический сигнал аналогового типа, а при наличии в составе матрицы АЦП, то преобразование происходит в поток цифровых данных.
Матрица – основной элемент цифровых фотоаппаратов, всех современных видео- и телекамер, фотокамер, встроенных в мобильный телефон и системы видеонаблюдения.

Основное значение термин «матрица» имеет в математике.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:

  • сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
  • умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую nстолбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую nстрок);
  • умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр).

Матрица – множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m – строк и n – столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:

А=,

аij, где i – номер строки, j – номер столбца

Далее рассмотрим виды матриц.

Матрицы С и D имеют размеры 3х3 и 2х2. В том случае, когда количество строк матрицы равняется количеству ее столбцов, матрица называется квадратной. Значит матрица C – квадратная матрица третьего порядка, а матрица D — квадратная матрица второго порядка.

С=; D=.

Матрица, которая содержит только одну строчку или один столбец называется вектором. В таких матрицах можновыделить вектор-строка и вектор-столбец. Так, матрица K – это вектор-строка, а матрица F – вектор-столбец.

K=; F=.

Квадратная матрица, у которой в главной диагонали стоят ненулевые элементы, а все остальные – нули называется диагональной матрицей. Матрица L – диагональная матрица третьего порядка. Если ненулевые элементы равны только единицам, то это единичная матрица, она всегда обозначается буквой Е. В нашем случае матрица Е – тоже единичная матрица третьего порядка.

L= E=.

Если все элементы матрицы нули, то это нулевая матрица. Например, матрица V – нулевая матрица третьего порядка.

V=.

Если в данной матрице поменять строки и столбцы местами, то получится транспонированная матрица данной. Например, дана матрица М, каждую строчку этой матрицы перенесем в соответствующий столбец матрицы, стоящей на рисунке рядом. Вторая матрица – это транспонированная матрица матрицы М.

К середине XIX в. матрицы стали самостоятельными объектами математических исследований. К этому времени были сформулированы правила сложения и умножения матриц. Основную роль в их разработке сыграли работы Гамильтона, Кэли и Сильвестра (J.J.Sylvester, 1814–1897). Современное обозначение матрицы предложил Кэли в 1841 году. Исследования Вейерштрасса (K.Th.W.Weierstrass, 1815–1897) и Фробениуса (F.G.L. Frobenius, 1849–1917) далеко продвинули теорию матриц, обогатив ее новым содержанием.

Но существует ещё особая разновидность матриц, называемая магическим квадратом. Магический квадрат квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием лошу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де лаЛубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка. Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Где ещё применяются матрицы?

Таблица умножения — это произведение матриц (1,2,3,4,5,6,7,8,9)Т ×(1,2,3,4,5,6,7,8,9).

В физике и других прикладных науках матрицы – являются средством записи данных и их преобразования. В программировании – в написании программ. Они еще называются массивами. Широко применение и в технике. Например, любая картинка на экране – это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек.

В психологии понимание термина сходно с данным термином в математике, но взамен математических объектов подразумеваются некие «психологические объекты» – например, тесты.

Кроме того, матрицы имеет широкое применение в экономике, биологии, химии и даже в маркетинге.

Также авторы нашли абстрактную модель – теорию бракосочетаний в первобытном обществе, где с помощью матриц были показаны разрешенные варианты браков для представителей и даже потомков того или иного племени, что явилось свидетельством разнопланового применения матриц.

Теперь подробнее остановимся на некоторых областях применения матриц.

Рассмотрим теорию бракосочетаний, о которой уже упоминалось.

В некоторых первобытных обществах существуют строгие правила относительно того, в каких случаях допустимы браки. Эти правила направлены на предотвращение браков между слишком близкими родственниками.

Эти правила допускают точную математическую формулировку в терминах «p-матриц». Одним из первых изложил эти правила в виде аксиом Андре Вейль.

Правила бракосочетания характеризуются следующими аксиомами:

  • Аксиома 1: каждому члену общества приписывается определенный брачный тип.
  • Аксиома 2: двум индивидуумам разрешается вступать в брак тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же брачному типу.
  • Аксиома 3: тип индивидуума определяется полом индивидуума и типом его родителей.
  • Аксиома 4: два мальчика (или две девочки), родители которых принадлежат к разным типам, сами принадлежат к разным типам.
  • Аксиома 5: правила, разрешающие или не разрешающие мужчине вступить в брак со своей родственницей, зависят только от вида родства. В частности, мужчине не разрешается жениться на своей сестре.
  • Аксиома 6: для любых двух индивидуумов можно указать таких их потомков, которым разрешается вступать в брак.

Из аксиом следует, что нужно задать зависимость между типом родителей и типами сыновей и дочерей.

Читайте также:  Как найти файл в интернете

Для установления отношения родства пользовались следующими обозначениями:

Вот примеры видов отношений:

Данные схемы далее объединяются в большие матрицы, где условные обозначения преобразуются в числа. С помощью таких матриц удобно видеть кровное родство в нескольких поколениях.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.

Например, рассмотрим таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

Ресурсы Отрасли экономики
Промышленность Сельское хозяйство
Электроэнергия 5,3 4,1
Трудовые ресурсы 2,8 2,1
Водные ресурсы 4,8 5,1

Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

А=

В данной записи, например, матричный элемент = 5,3 показывает, сколько электроэнергии употребляет промышленность, а элемент = 2,1 — сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

Далее рассмотрим применение матриц в психологии.

Прогрессивные матрицы Равена– тест на наглядное и в то же время абстрактное мышление по аналогии (тест интеллекта), разработанный англ. психологом Дж. Равеном (1938).

Каждая задача состоит из 2 частей: основного рисунка (какого–либо геометрического узора) с пробелом в правом нижнем углу и набора из 6 или 8 фрагментов, находящихся под основным рисунком. Из этих фрагментов требуется выбрать один, который, будучи поставленным на место пробела, точно подходил бы к рисунку в целом. Прогрессивные матрицы Равена разделяются на 5 серий по 12 матриц в каждой. Благодаря увеличению числа элементов матриц и усложнению принципов из взаимоотношений задачи постепенно усложняются как в пределах одной серии, так и при переходе от серии к серии. Имеется также облегченный вариант прогрессивных матриц Равена, предназначенный для исследования детей и взрослых с нарушениями психической деятельности.

На рисунке показаны примеры таких матриц:

Мы рассмотрели основные области применения матриц. Выяснилось, что данный термин употребляется не только в математике, но и в других науках, таких, как информатика, биология, химия, физика, психология, экономика и т. д. Кроме того, матрицы могут быть практически применимы, например, как это делали в первобытном обществе для определения разрешённых вариантов брака.

МАТРИЦА— (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа.

С помощью матриц можно решать системы уравнений, в них удобно представлять какие-либо данные.

Таким образом, мы пришли к выводу, что матрицы широко применялись и применяются до сих пор.

Литература:

  1. Красс М.С., Чупрынов Б.П.; Математика, Питер, 2005.
  2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.; Финансы и статистика, 2000.
  3. Кремер Н.Ш.; ЮНИТИ-ДАНА, Высшая математика для экономистов, 3-е издание, 2007.
  4. Венгер А.Л. — Психологические рисуночные тесты: Иллюстрированное руководство.
  5. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.

источник

В основе всех современных жидкокристаллических дисплеев лежат открытые в 1888 году биологом Фридрихом Райнитцером жидкие кристаллы. Одним из их важнейших свойств является способность упорядочивать молекулы под влиянием электрических полей. Бурное развитие электроники в двадцатом веке сначала привело к появлению монохромных, а потом и цветных жидкокристаллических дисплеев.

Основными элементами ЖК-дисплея являются жидкокристаллическая матрица, лампы ее подсветки, шлейф для подключения и металлическая рамка жесткости. Сама матрица состоит из двух прозрачных электродов, между которыми находятся жидкие кристаллы, и двух взаимно перпендикулярных поляризационных фильтров. Молекулы жидких кристаллов изначально ориентированы в одном направлении, внешнее электрическое поле меняет их ориентацию, что позволяет менять прозрачность экрана. Чтобы управлять каждым пикселем экрана в отдельности, используется адресация по строкам и столбцам. Для обеспечения нужной яркости изображения применяется подсветка, обычно в качестве источника света устанавливают миниатюрные люминесцентные лампы или светодиоды.

В ноутбуке матрица находится непосредственно под внешним защитным слоем экрана. Следует учитывать, что жидкокристаллическая матрица является одним из самых уязвимых элементов компьютера, поэтому следует оберегать ее от ударов и других механических повреждений. В случае нарушения целостности матрицы ее придется менять. Как правило, эту операцию осуществляют в сервисных центрах, но ее можно выполнить и самостоятельно.

Чтобы добраться до матрицы, необходимо разобрать экран ноутбука, для этого сначала надо аккуратно поддеть отверткой и вытащить резиновые заглушки, на которые экран опирается в закрытом состоянии. Под ними находятся шурупы, их надо выкрутить. После этого можно будет снять внешнюю пластиковую рамку. Она дополнительно крепится защелками, поэтому ее снятие может сопровождаться довольно громким треском.

Сняв рамку, вы увидите матрицу, удерживаемую несколькими винтами, обычно двумя. Их тоже следует открутить. После этого вы сможете снять ее и положить экраном вниз на мягкую ткань. Обратите внимание на шлейфы, их необходимо аккуратно отключить от разъемов. Процедура разборки окончена, матрица снята. Теперь ее можно заменить новой и выполнить сборку в обратной последовательности.

При выборе ноутбука следует поинтересоваться типом дисплея. В частности, светодиодная подсветка матрицы гораздо надежнее, чем выполненная на основе люминесцентных ламп. Кроме того, она намного экономичнее, что позволит ноутбуку гораздо дольше работать от аккумулятора.

источник

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого — определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы — A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго. Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот — столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис. Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

источник

Виды матриц, линейные операции над ними. Умножение квадратных матриц первого и второго порядков. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков. Решение линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. Применение матриц в различных областях науки.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский областной лицей

Матричная алгебра в жизни человека

2. Виды матриц. Векторы

4. Линейные операции над матрицами

7. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

8. Решение простейших матричных уравнений

9. Решение линейных уравнений по формулам Крамера

10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

11. Системы линейных уравнений

12. Общее решение системы линейных уравнений

13. Применение матриц на практике

Матричная алгебра — раздел алгебры, посвященный правилам действий над матрицами — одним из самых важных, употребительных и содержательных понятий в математике.

В наше время тема матриц и матричной алгебры является актуальной.

Матрицы — это, образно говоря, кирпичи и строительные блоки для построения и использования различных алгоритмов и математических моделей

Матрицы проникли почти во все отрасли человеческой деятельности. В математике они используются при исследовании систем m линейных уравнений с n неизвестными. В экономике — при отражении соотношений затрат, производственных и экономических структур. В технике — при расчете сооружений. В физике матрицы применены для повышения точности вычисления значений полей вблизи неоднородности, теории управления, статистики, других областей науки и знаний.

Практика — это критерий истинности знаний, и моя работа покажет, что сложные и непонятные с первого взгляда матрицы, определители и их свойства могут быть применимы в различных отраслях деятельности человека и в обычной жизни.

Объект исследования: применения матриц на практике, в экономике, математике и других науках.

Читайте также:  Бесплатные смайлы для одноклассников в сообщениях

Предмет исследования: матрица.

Цель исследования: выявить принципы применения матриц в различных областях науки.

— научиться выполнять действия над матрицами.

— правильно составить математическую модель ситуации.

— решить полученную матрицу.

— выбрать правильный ответ.

Достоверность результатов исследования обеспечивалась обоснованностью исходных теоретических данных, опорой на доказательства и методы решения линейных уравнений.

Практическая ценность: я смогу применять свои знания в старших классах и ВУЗе при решении линейных систем уравнений. Помогать своим сверстникам, если у них возникнут затруднения в решении уравнений.

Теоретическая значимость результатов обусловлена подбором задач для подтверждения теорий.

матрица уравнение линейный

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

Для любого элемента а ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. Сокращенно прямоугольную матрицу типа m*n можно записать так: A = (a ij), где i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

2. Виды матриц. Векторы

Если число строк матрицы не равно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной.

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Диагональ, содержащую элементы , , …, , будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы , …, — побочной (вспомогательной).

Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали. Такие матрицы называют диагональными.

Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, т.е. == …= , то такая диагональная матрица называется скалярной.

Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В прямоугольной матрице типа m*n возможен случай, когда m=1. при этом получается матрица-строка. В случае, когда n=1, получаем матрицу-столбец.

Такие матрицы-строки и матрицы-столбцы иначе будем называть векторами.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны: aіј=bіј Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа m*n, либо квадратные одного и того же порядка n.

Если в матрице типа m*n переставить строки со столбцами, получим матрицу типа n*m, которую будем называть транспонированной матрицей.

В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матрица-строка), транспонированная матрица является матрицей-столбцом.

4. Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа m*n, или квадратные порядка n.

Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1) Переместительный закон сложения:

где А и В — либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа m*n.

2) Сочетательный закон сложения:

где А, В, С — либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа m*n.

Из сказанного выше вытекает равенство

т.е. существует такая нулевая матрица (того же порядка или того же типа), что её сумма с матрицей А любого типа равна матрице А.

Для любой матрицы А существует матрица -А такая, что

т.е. матрица, противоположная А.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица k А, каждый элемент которой равен k a іј.

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Чтобы найти элемент первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки ( и ) на соответствующие элементы второго столбца (b12 и b22) и полученные произведения сложить.

Аналогично находятся элементы.

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, матрицы произведения, нужно все элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц. Для них справедливы следующие правила:

1) Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

2) В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц.

1. Сочетательный закон

2. Распределительный закон

Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго порядка.

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

Определитель (или детерминант) второго порядка записывается так:

Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице называется число:

Определитель третьего порядка записывается так:

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольника (правилом Сарруса)

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а11 а22 а33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а11 а23 а31). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а13 а22 а31) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а12 а21 а33 и а11 а23 а32).

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать). Это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов. 2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.

3) Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

4) Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

5) Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца) , умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

7) Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, — нули, равен произведению элементов главной диагонали:

Определение обратной матрицы.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю.

Если А — квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

Обозначив единичную матрицу через , запишем .

Если обратная матрица существует, то матрица называется обратимой.

Если обратная матрица существует, то матрица называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы. Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. чтобы её определитель был отличен от нуля.

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Минором М іј элемента a іј определителя D=, где i и j меняются от 1 до n, называется такой новый определитель, который получается из данного определи-теля вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, минор , соответствующий элементу определителя.

Получается, если вычеркнуть из определителя D первую строку и второй столбец.

Алгебраическим дополнением элемента a іј определителя D называется минор

М іј этого элемента, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента a іј принято обозначать А. таким образом,

7. Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

1. Найти определитель матрицы А.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов a іј матрицы А и записывают новую матрицу.

3. Поменять местами столбцы полученной матрицы (транспонировать матрицу)

4. Умножить полученную матрицу на 1/D.

8. Решение простейших матричных уравнений

Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матриц-столбцов:

Тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так: АХ=В или

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А — невырожденная (D0): тогда существует обратная матрица. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем

Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде

Алгоритм решения матричных уравнений:

1) Найти обратную матрицу.

2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов.

3) Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

9. Решение линейных уравнений по формулам Крамера

Теорема: Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Когда определитель системы равен нулю она может иметь либо бесконечное множество решений, либо не иметь корней.

Решить систему уравнений:

Вычислим определитель системы и определители

Найдем значения х и у по формулам Крамера

Итак, решение системы (3;-1).

10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1)Умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число

2)Сложение и вычитание уравнений

3)Перестановку уравнений системы

4)Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Решить систему уравнений:

Переставим третье уравнение на место первого. Запишем расширенную матрицу:

Чтобы в первом столбце получить а21=а31=0, умножим первую строку сначала на 3, а затем на 2 и вычтем результаты из второй и третьей строк.

Разделим вторую строку на 8, полученные результаты умножим на 3 и вычтем из третьей строки:

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица. Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок находим неизвестные. Получаем ответ (1;2;3).

11. Системы линейных уравнений

Читайте также:  Как пополнить телефон с карты сбербанка на чужой телефон

Рассмотрим систему из m уравнений с n неизвестными.

Система задается своей расширенной матрицей A*, получае-мой объединением матрицы системы A и столбца свободных членов b.

Транспонируем матрицу А системы (1) и рассмотрим систему из п линейных уравнений

с т неизвестными, матрицей А Т и свободными членами, равными нулю. Она называется сопряженной однородной системой для системы (1). Если у — столбец высоты т из неизвестных, то сис-тему (2) можно записать как А Т у = 0, или, лучше, в виде

где 0 — нулевая строка длины п.

Для того чтобы система (1) имела решения, необходимо и достаточно, чтобы каждое решение сопря-женной однородной системы (3) удовлетворяло уравнению

Приведенная система. Сопоставим системе линейных урав-нений (1) однородную систему с той же матрицей коэффициентов:

По отношению к системе (1) она называется приведенной.

Если х — решение системы (1). Столбец х также будет ее решением тогда и только тогда, когда найдется такое решение у приведенной системы (5), что х = х + у.

Это предложение сводит задачу описания множества решений системы линейных уравнений к описанию множества решений ее приведенной системы.

Матрица F, состоящая из столбцов высо-ты n, называется фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей A размеров т п, если:

б) столбцы F линейно независимы;

Если фундаментальная матрица существует, то каждый ее столбец в силу условия а) — решение системы.

Столбцы фундаментальной матрицы называются фундамен-тальной системой решений.

Столбец х будет решением системы Ах = 0 тогда и только тогда, когда существует такой столбец с, что

12. Общее решение системы линейных уравнений

Если х0 — некоторое решение системы (1), a F — фундаментальная матрица ее приведенной системы, то столбец

при любом с является решением системы (1). Наоборот, для каждого решения х найдется такой столбец с, что оно будет представлено формулой (7).

Выражение, стоящее в правой части формулы (7), называется общим решением системы линейных уравнений. Если f1, . fn-r — фундаментальная система решений, а с1 . сn-r — произвольные постоянные, то формула (10) может быть написана так:

х = х0 + c1f1 + . + сn-rfn-r (8)

Если А — матрица системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Если det А = 0, то сиcтема либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений.

13. Применение матриц на практике

Матрицы нашли применение во многих отраслях человеческой деятельности.

· Матричный язык, обозначения и матричные вычисления широко используются в различных областях современной математики и её приложений. Матрицы являются основным математическим аппаратом линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных уравнений. Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании систем дифференциальных уравнений, в теории вероятностей.

· В экономике применяются матричные модели — балансово-нормативные модели в виде таблиц (матриц), отражающие соотношения затрат и результатов производства, нормативы затрат, производственные и экономические структуры. Применяются в межотраслевом балансе, при составлении техпромфинпланов предприятий и т.д.

· Матрицы используются в механике и теоретичной электротехнике при исследовании малых колебаний механических и электрических систем, в квантовой механике.

· При решении задач проектирования дорожных машин возникает необходимость в вычислениях координат вершин тел в пространстве. Такие вычисления удобно производить с помощью матриц в системе МАТLАВ.

· Широкое применение матрицы находят при расчете сооружений с использованием современной вычислительной техники.

В десятом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. Тогда число девочек в классе оказалось в два раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. Тогда число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду?

Пусть х — число девочек, у — число мальчиков в классе.

В понедельник было (х-1) девочек, (у-5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т.е. х-1=2(у-5).

Во вторник было (х-9) девочек, (у-1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т.е. у-1=1,5(х-9)

Математическая модель ситуации составлена:

Упростим каждое уравнение системы:

Получилось, что в классе 17 девочек и 13 мальчиков. Итого в классе — 30 человек.

Пусть мебельная фабрика выпускает продукцию четырех видов: стулья, столы, шкафы и диваны. Чтобы сообщить, сколько продукции выпустила фабрика в январе, достаточно указать 4 числа, порядок которых существен. Допустим, первое из них означает число выпущенных в январе стульев, второе — столов, третье — шкафов, а четвертое — диванов. Получаем матрицу-строку:

Фабрика может выпустить не четыре наименования продукции, а 10 или 20 различных наименований, которые запишутся в виде матрицы-строки. В общем случае рассматривается матрица:

где n — произвольное натуральное число (в зависимости от рассматриваемой ситуации).

Сумма двух таких матриц дает новую матрицу, которая определяет выпуск продукции фабрикой за два месяца. Разность указывает, на сколько изменилось количество изделий, выпускаемых фабрикой за второй месяц по сравнению с первым.

Если мы хотим иметь данные не за один месяц, а за k месяцев сразу, то для этого достаточно составить таблицу:

Здесь в первой строке указано количество изделий, выпущенных фабрикой в первый месяц, в следующей строке — продукция второго месяца и т.д.

Пусть имеются два предприятия, выпускающие одинаковые изделия. Продукция первого из них в течение k месяцев задается матрицей А, продукция второго — матрицей В. Чтобы описать совместный выпуск продукции обоими предприятиями, надо сложить две матрицы.

Аналогично можно найти разность количества продукции.

Предположим, что нас интересует вопрос: на какую сумму фабрика выпустила изделий в первом, втором, … k-м месяце? Для этого матрицу А, определяющую выпуск n видов изделий за k месяцев, надо умножить на матрицу-столбец, составленную из стоимости этих изделий.

с2=ф21и1+ф22и2+…+ф2титб …б ал=фл1и1+фл2и2+…+флтитю

Получим сумму, на которую фабрика выпустила определенных изделий. Рассчитаем на примере:

Составим матрицу А, описывающую, какое количество продукции выпущено фабрикой за январь:

где 150 — количество выпущенных в январе стульев, 430 — количество выпущенных в январе столов, 267 — шкафов, 354 — диванов.

Пусть матрица В описывает, какое количество продукции фабрика выпустила за февраль:

Допустим, нам нужно узнать, какое количество продукции фабрика выпустила за январь и февраль. Для этого найдем сумму двух матриц:

Получаем, что фабрика за январь и февраль выпустила 350 стульев, 920 столов, 534 шкафов, 897 диванов.

Чтобы узнать, на сколько изменился выпуск продукции в феврале по сравнению с январем, найдем разность матриц:

Получим, что в феврале выпуск продукции увеличился на 50 стульев, 60 столов, 189 диванов. Выпуск шкафов не изменился.

Составим матрицу, описывающую выпуск продукции за четыре месяца:

В первой строке — продукция первого месяца, во второй 150 430 267 354 продукция второго и т.д.

Пусть имеется вторая фабрика, выпускающая такую же продукцию. Пусть количество продукции, выпущенной второй фабрикой за январь и февраль описывается матрицей С:

где 289 также количество выпущенных стульев, 316 — столов, 152 — шкафов, 75 — диванов.

Найдем совместный выпуск в январе и феврале:

Допустим, нас интересует, на какую сумму первая фабрика выпустила продукции в первом, во втором, в k месяце. Для этого домножим матрицу А на матрицу L, описывающую цену на продукцию.

В моей работе я доказала, что матрицы могут быть применимы в обыденной жизни. Например, при решении задач о количестве учеников в классе, при строительстве сооружений, в экономике, при подсчете количества выпущенной продукции и её цены.

Так же в моей работе присутствует теория о матрицах, правилах действий над ними, изложенная в доступной форме, примеры решения систем уравнений с помощью определителей и т.д.

Я убедилась, что любую реальную ситуацию можно представить в виде математической модели, а затем найти её решения.

1. «Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа» Часть первая. Редакция Г.Н. Яковлева. 1981г. Издательство «Наука».

2. «Алгебра и элементарные функции» Р.А. Калнин. 1967г. Издательство «Наука».

3. «Алгебра7» А.Г .Мордкович. 1999г. Издательство «Мнемозина».

4. «Основы линейной алгебры» Мальцев А.И. 4 изд. 1975г.

5. «Матрицы и вычисления» Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А., 1984г.

Размещено на Allbest.ru

Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.

реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003

Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.

учебное пособие [1,5 M], добавлен 06.11.2011

Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.

учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010

Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009

Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.

презентация [74,7 K], добавлен 21.09.2013

Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.

контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014

Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010

Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.

лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008

Определение разности и произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc). Порядок определения типа кривой второго порядка и ее основных геометрических характеристик.

контрольная работа [272,0 K], добавлен 11.12.2012

Форма записи и методы решения системы алгебраических уравнений с n неизвестными. Умножение и нормы векторов и матриц. Свойства определителей матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Примеры использования числовых характеристик матриц.

реферат [203,0 K], добавлен 12.08.2009

источник