Меню Рубрики

Диагональное сечение в прямоугольном параллелепипеде

Как найти площадь диагонального сечения параллелепипеда (прямоугольного параллелепипеда)?

Площадь диагонального сечения параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение представляет собой прямоугольник.

Значит, для нахождения его площади нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника:

Сторона a совпадает с диагональю основания параллелепипеда.

Длину диагонали основания можно найти по теореме Пифагора, поскольку данная диагональ разбивает прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника и является в каждом из них гипотенузой.

BD² = AB² + AD². => BD = √(AB² + AD²).

Сторона b равна высоте параллелепипеда (боковому ребру).

Высоту параллелепипеда можно, например, найти по его объёму и площади основания.

У прямоугольного параллелепипеда основание — это прямоугольник, поэтому площадь основания равна произведению его длины и ширины (на рисунке это AB и AD).

Далее рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 4 см, а высота равна 5 см.

Нужно найти площадь диагонального сечения.

S (сеч) = √(12² + 4²) * 5 = √140 * 5 = 2√35 * 5 = 10√35 см.

Пример 2

Стороны основания и высота прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3, а его объём равен 48 см².

Нужно найти площадь диагонального сечения.

1) Сначала найдём, чему равны стороны основания и высота.

Пусть a = x, b = 2x, c = 3x.

Таким образом, стороны основания равны 2 и 4 см соответственно, а высота равна 6 см.

2) Теперь всё решается так же, как и в 1 примере.

S (сеч) = √(2² + 4²) * 6 = √20 * 6 = 2√5 * 6 = 12√5 см.

источник

Метод 2. Допустим, что прямоугольный параллелепипед является кубом. Куб — это такой прямоугольный параллелепипед, у которого каждая грань представлена квадратом. Следовательно, все его стороны равны. Тогда формула для расчеты длины его диагонали будет выражена так:

Чаще вопрос о высоте нам встречается в задачах. Всегда нам даны сведения, позволяющие вычислить её. Это может быть объем, линейные размеры параллелепипеда, длины его диагоналей.

Так объем параллелепипеда равен произведению его основания на высоту, то есть, зная объем и размер основания, легко выяснить высоту путем деления первого на второе. Если вы имеете дело с прямоугольным параллелепипедом, то есть такие, основание которого прямоугольник, вам могут попытаться усложнить задачу, в связи с его особенными качествами. Так в диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелепипеда. Если в «дано» к задаче о прямоугольном параллелепипеде указаны длина его диагонали и длины сторон основания, то этих сведений достаточно, чтобы выяснить размер искомой высоты.

— параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали;

— любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

— противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;

— квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

источник

Диагональные сечения параллелепипеда. C. B. C. B. D. A. D. A. B. C. B. C. D. A. D. A. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

Слайд 7 из презентации «Параллелепипед»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Параллелепипед.ppt» можно в zip-архиве размером 149 КБ.

«Золотое сечение» — Цель исследования: Вывести закон красоты мира с точки зрения математики. Адмиралтейство. Окно. Выполнила ученица 10 класса Сметанина Юлия. Покровский собор (храм Василия Блаженного). Золотое сечение в архитектуре. В математике пропорцией называется равенство двух отношений: a : b = c : d. Египетские пирамиды.

«Построение сечений» — Сечения выполняют в том же масштабе, что и изображение, к которому оно относится. Особенности выполнения сечений. Нанесение размеров. Обозначение сечений. Контур вынесенных сечений выполняют сплошной линией. Правила выполнения сечений. Сечения. Сечения на чертежах разделяют на вынесенные и наложенные.

«Параллелепипед 10 класс» — Угол равен 60?. 3.Четыре, если параллелепипед – куб. Угол равен 60?. 3.Равные квадраты, углы 90 ?. Форму ромбоэдра имеют кристаллы исландского шпата. Вариант 2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Диагонали параллелепипеда. Докажите параллельность прямых B1C и A1D. 2. Диагонали параллелепипеда равны. Параллелепипед.

«Объем параллелепипеда» — Так же поступаем и мы сейчас. В Древнем Вавилоне единицами объемов служили кубы. Теперь определим что же такое единицы объемов? Значит, по правилу вычисления объема, получаем: 3х3х3=27 (см3). Задание №2. Найдите объем куба, ребро которого равно 3 см. Единица объема равная 1 дм3 называется литром. Задание №1.

«Урок Прямоугольный параллелепипед» — Цель урока: Длина. Рефлексия. Найти площадь основания прямоугольного параллелепипеда. Построить прямоугольник заданной длины (а) и высоты (h). Развертка. Грани. Ребра. Физкультминутка. Алгоритм построения прямоугольного параллелепипеда. Длина в три раза меньше высоты, а ширина в 6 раз меньше высоты.

«Объем прямоугольного параллелепипеда» — Т е с т. (Геометрическая фигура). 6. У параллелепипеда все грани являются прямоугольниками. 3. У куба все грани являются квадратами. Ответьте на следующие вопросы: Квадраты. Назовите ребра, имеющие вершину E. Увеличится. Объемная. Задача 2: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3см, 6см и 6см.

источник

Сечения геометрических фигур имеют разные формы. У параллелепипеда сечение неизменно представляет собой прямоугольник либо квадрат. Оно имеет ряд параметров, которые могут быть обнаружены аналитическим методом.

1. Через параллелепипед дозволено провести четыре сечения, которые представляют собой квадраты либо прямоугольники. Каждого он имеет два диагональных и два поперечных сечения. Как водится, они имеют различные размеры. Исключением является куб, у которого они идентичны.Перед тем как строить сечение параллелепипеда, составьте представление о том, что представляет собой эта фигура. Существует два вида параллелепипедов – обыкновенный и прямоугольный. У обыкновенного параллелепипеда грани располагаются под некоторым углом к основанию, а у прямоугольного они перпендикулярны ему. Все грани прямоугольного параллелепипеда представляют собой прямоугольники либо квадраты. Из этого следует,что куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда.

2. У всякого сечения параллелепипеда есть определенные колляции. Основными из них являются площадь, периметр, длины диагоналей. Если из данные задачи знамениты стороны сечения либо какие-нибудь иные его параметры, этого довольно, дабы обнаружить его периметр либо площадь. По сторонам определяются также диагонали сечений. 1-й из этих параметров – площадь диагонального сечения.Для того дабы обнаружить площадь диагонального сечения, необходимо знать высоту и стороны основания параллелепипеда. Если даны длина и ширина основания параллелепипеда, то диагональ обнаружьте по теореме Пифагора:d=?a^2+b^2.Обнаружив диагональ и зная высоту параллелепипеда, вычислите площадь сечения параллелепипеда:S=d*h.

3. Периметр диагонального сечения тоже дозволено вычислять по двум величинам – диагонали основания и высоте параллелепипеда. В этом случае сначала обнаружьте две диагонали (верхнего и нижнего оснований) по теореме Пифагора, а после этого сложите с удвоенным значением высоты.

4. Если провести плоскость, параллельную ребрам параллелепипеда, дозволено получить сечение-прямоугольник, сторонами которого являются одна из сторон основания параллелепипеда и высота. Площадь этого сечения обнаружьте дальнейшим образом:S=a*h.Периметр этого сечения обнаружьте аналогичным образом по дальнейшей формуле:p=2*(a+h).

5. Конечный случай появляется, когда сечение проходит параллельно двум основаниям параллелепипеда. Тогда его площадь и периметр равны значению площади и периметра оснований, т.е.:S=a*b – площадь сечения;p=2*(a+b).

Раньше, чем перейти к нахождению высоты параллелепипеда, необходимо прояснить, что есть высота и что есть параллелепипед. В геометрии, высотой называют перпендикуляр, от вершины фигуры до ее основания либо отрезок, кратчайшим методом соединяющий верхнее и нижнее основания. Параллелепипед – это многогранник, имеющий два параллельных и равных многоугольника в качестве оснований, углы которых объединены отрезками. Параллелепипед составлен из шести параллелограммов, попарно параллельных и равных друг другу.

1. Высоты в параллелограмме может быть три, в зависимости от расположения фигуры в пространстве, чай повернув параллелепипед на бок, вы поменяете местами его основания и грани. Верхний и нижний параллелограммы – неизменно основания. Если боковые ребра фигуры перпендикулярны основаниям, то параллелепипед прямой, и всякое его ребро – готовая высота. Дозволено измерить.

2. Дабы из наклонного параллелепипеда получить прямой, того же размера, нужно продолжить боковые грани в одном направлении. После этого, возвести перпендикулярное сечение, от углов которого, отложить длину ребра параллелепипеда, и на этом расстоянии возвести второе перпендикулярное сечение. Два построенных вами параллелограмма, ограничат новейший параллелепипед, равновеликий первому. На грядущее следует подметить, что объемы равновеликих фигур идентичны.

3. Почаще вопрос о высоте нам встречается в задачах. Неизменно нам даны данные, дозволяющие вычислить её. Это может быть объем, линейные размеры параллелепипеда, длины его диагоналей.Так объем параллелепипеда равен произведению его основания на высоту, то есть, зная объем и размер основания, легко узнать высоту путем деления первого на второе. Если вы имеете дело с прямоугольным параллелепипедом, то есть такие, основание которого прямоугольник, вам могут попытаться усложнить задачу, в связи с его особенными качествами. Так в прямоугольном параллелепипеде, квадрат всякий его диагонали равен сумме квадратов 3 измерений параллелепипеда. Если в «дано» к задаче о прямоугольном параллелепипеде указаны длина его диагонали и длины сторон основания, то этих сведений довольно, дабы узнать размер желанной высоты.

Параллелепипед – частный случай призмы, у которой все шесть граней являются параллелограммами либо прямоугольниками. Параллелепипед с прямоугольными гранями называют также прямоугольным. У параллелепипеда имеется четыре пересекающиеся диагонали. Если даны три ребра а, b, с, обнаружить все диагонали прямоугольного параллелепипеда дозволено, исполняя добавочные построения.

1. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Запишите вестимые данные: три ребра а, b, с. Сначала постройте одну диагональ m. Для ее определения используем качество прямоугольного параллелепипеда, согласно которому все его углы являются прямыми.


2. Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда. Построение проведите так, дабы вестимое ребро, желанная диагональ параллелепипеда и диагональ грани совместно образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.

3. Обнаружьте построенную диагональ грани. Она является гипотенузой иного прямоугольного треугольника b, с, n. Согласно теореме Пифагора n² = с² + b². Вычислите данное выражение и возьмите корень квадратный из полученного значения – это будет диагональ грани n.

Читайте также:  Как лучше принимать кальций чтобы он усваивался

4. Обнаружьте диагональ параллелепипеда m. Для этого в прямоугольном треугольнике а, n, m обнаружьте неведомую гипотенузу: m² = n² + a². Подставьте вестимые значения, после этого вычислите корень квадратный. Полученный итог и будет первой диагональю параллелепипеда m.

5. Аналогичным образом проведите ступенчато все остальные три диагонали параллелепипеда. Также для всей из них исполните добавочные построения диагоналей прилегающих граней. Рассматривая образуемые прямоугольные треугольники и применяя теорему Пифагора, обнаружьте значения остальных диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Видео по теме

Форму параллелепипеда имеют многие настоящие объекты. Примерами являются комната и бассейн. Детали, имеющие такую форму – не редкость и в промышленности. По этой причине зачастую появляется задача нахождения объема данной фигуры.

1. Параллелепипед представляет собой призму, основанием которой является параллелограмм. У параллелепипеда имеются грани – все плоскости, формирующие данную фигуру. Каждого у него насчитывается шесть граней, причем, все они являются параллелограммами. Его противоположные грани между собой равны и параллельны. Помимо того, он имеет диагонали, которые пересекаются в одной точке и в ней делятся напополам.

2. Параллелепипед бывает 2-х видов. У первого все грани являются параллелограммами, а у второго – прямоугольниками. Конечный из них именуется прямоугольным параллелепипедом. У него все грани прямоугольные, а боковые грани перпендикулярны к основанию. Если прямоугольный параллелепипед имеет грани, основы которых – квадраты, то он именуется кубом. В этом случае, его грани и ребра равны. Ребром именуется сторона всякого многогранника, к числу которых относится и параллелепипед.

3. Для того, дабы обнаружить объем параллелепипеда, нужно знать площадь его основания и высоту. Объем находится исходя из того, какой именно параллелепипед фигурирует в условиях задачи. У обычного параллелепипеда в основании находится параллелограмм, а у прямоугольного – прямоугольник либо квадрат, у которого неизменно углы прямые. Если в основании параллелепипеда лежит параллелограмм, то его объем находится дальнейшим образом:V=S*H, где S – площадь основания, H -высота параллелепипедаВысотой параллелепипеда обыкновенно выступает его боковое ребро. В основании параллелепипеда может лежать и параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Из курса планиметрии знаменито, что площадь параллелограмма равна:S=a*h, где h – высота параллелограмма, a – длина основания, т.е. :V=a*hp*H

4. Если имеет место 2-й случай, когда основание параллелепипеда – прямоугольник, то объем вычисляется по той же формуле, но площадь основания находится несколько другим образом:V=S*H,S=a*b, где a и b – соответственно, стороны прямоугольника и ребра параллелепипеда.V=a*b*H

5. Для нахождения объема куба следует руководствоваться примитивными логическими методами. От того что все грани и ребра куба равны, а в основании куба – квадрат, руководствуясь формулами, указанными выше, дозволено вывести следующую формулу:V=a^3

Во многих учебниках встречаются задания, связанные с построением сечений разных геометрических фигур, в том числе параллелепипедов. Для того дабы совладать с такой задачей, следует вооружиться некоторыми познаниями.

Вам понадобится

1. На листе бумаге начертите параллелепипед. Если в вашей задаче сказано, что параллелепипед должен быть прямоугольным, то сделайте его углы прямыми. Помните, что противоположные ребра обязаны быть параллельны друг другу. Назовите его вершины, скажем, S1, T1, T, R, P, R1, P1 (как показано на рисунке).

2. На краю SS1TT1 поставьте 2 точки: А и С, пускай точка А будет на отрезке S1T1, а точка С на отрезке S1S. Если в вашей задаче не сказано, где именно обязаны стоять эти точки, и не указано расстояние от вершин, поставьте их произвольно. Проведите прямую линию через точки А и С. Продолжите эту линию до пересечения с отрезком ST. Обозначьте место пересечения, пускай это будет точка М.

3. Поставьте точку на отрезке RT, обозначьте ее как точку В. Проведите прямую линию через точки М и В. Точку пересечения этой линии с ребром SP обозначьте как точку К.

4. Объедините точки К и С. Они обязаны лежать на одной грани PP1SS1. Позже этого через точку B проведите прямую линию, параллельную отрезку КС, продолжите линию до пересечения с ребром R1T1. Точку пересечения обозначьте как точку Е.

5. Объедините точки А и Е. Позже этого выделите получившийся многоугольник ACKBE иным цветом – это будет сечение заданного параллелепипеда.

Обратите внимание!
Помните, что при построении сечения параллелепипеда дозволено соединять между собой только те точки, которые лежат в одной плоскости, если имеющихся у вас точек неудовлетворительно для построения сечения, достраивайте их, путем продолжения отрезков до пересечения с гранью, на которой надобна точка.

Полезный совет
Каждого в параллелепипеде может быть построено 4 сечения: 2 диагональных и 2 поперечных. Для большей наглядности, выделите получившийся многоугольник-сечение, для этого можете примитивно обвести либо заштриховать его иным цветом.

Параллелепипедом именуется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, именуются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда.

1. У параллелепипеда дозволено возвести четыре пересекающиеся диагонали. Если знамениты данные 3 ребер а, b и с, обнаружить длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, исполняя добавочные построения.

2. Вначале нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Подпишите все вестимые вам данные, их должно быть три: ребра а, b и с. Начертите первую диагональ m. Для ее построения воспользуйтесь свойством прямоугольных параллелепипедов, согласно которому все углы сходственных фигур являются прямыми.

3. Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда . Построение сделайте таким образом, дабы знаменитое ребро (а), незнакомая диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.

4. Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой иного прямоугольного треугольника b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (n? = с? + b?), обнаружьте квадрат гипотенузы, после этого извлеките корень квадратный из полученного значения – это и будет длина диагонали грани n.

5. Обнаружьте диагональ самого параллелепипеда m. Для того, дабы обнаружить ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m? = n? + a?. Вычислите корень квадратный. Обнаруженный итог будет первой диагональю вашего параллелепипеда . Диагональ m.

6. Верно так же проведите ступенчато все остальные диагонали параллелепипеда , для всей из которых исполняйте добавочные построения диагоналей прилегающих граней. Применяя теорему Пифагора, обнаружьте значения остальных диагоналей данного параллелепипеда .

7. Есть еще один метод, с поддержкой которого дозволено обнаружить длину диагонали. Согласно одному из свойств параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов 3 его сторон. Из этого следует, что длину дозволено обнаружить сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.

Полезный совет
Свойства параллелепипеда:- параллелепипед симметричен касательно середины его диагонали;- всякий отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею напополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею напополам;- противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;- квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Параллелепипед – объемная геометрическая фигура с тремя измерительными колляциями: длиной, шириной и высотой. Все они участвуют в нахождении площади обеих поверхностей параллелепипеда : полной и боковой.

1. Параллелепипед – многогранник, построенный на основе параллелограмма. У него шесть граней, также являющихся этими двухмерными фигурами. В зависимости от того, как они расположены в пространстве, различают прямой и наклонный параллелепипед. Эта разница выражается в равенстве угла между основанием и боковым ребром 90°.

2. По тому, к какому частному случаю параллелограмма относится основание, дозволено выделить прямоугольный параллелепипед и особенно распространенную его разновидность – куб. Эти формы особенно зачастую встречаются в повседневной жизни и носят наименование стандартных. Они присущи бытовой технике, предметам мебели, электронным приборам и др., а также самим человеческим жилищам, размеры которых имеют весомое значение для обитателей и риелторов.

3. Обыкновенно считают площадь обеих поверхностей параллелепипеда , боковой и полной. Первая числовая колляция представляет собой общность площадей его граней, вторая – та же величина плюс площади обоих оснований, т.е. сумма всех двухмерных фигур, из которых состоит параллелепипед. Следующие формулы носят наименование основных наравне с объемом:Sб = Р•h, где Р – пeримeтр основания, h – высота;Sп = Sб + 2•S, где So – площадь основания.

4. Для частных случаев, куба и фигуры с прямоугольными основаниями, формулы упрощаются. Сейчас теснее не надобно определять высоту, которая равна длине вертикального ребра, а площадь и периметр обнаружить значительно легче вследствие наличию прямых углов, в их определении участвуют только длина и ширина. Выходит, для прямоугольного параллелепипеда :Sб = 2•с•(a + b), где 2•(а + b) – удвоенная сумма сторон основания (периметр), с – длина бокового ребра;Sп = Sб + 2•а•b = 2•а•с + 2•b•с + 2•a•b = 2•(а•с + b•с + а•b).

5. У куба все ребра имеют идентичную длину, следственно:Sб = 4•а•а = 4•а?;Sп = Sб + 2•а? = 6•а?.

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, представления куба и его геометрических свойств, а также с применением векторной алгебры. Могут потребоваться методы рения систем линейных уравнений.

1. Выберите данные задачи так, дабы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость ? следует задать всеобщим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба абсолютно хватит координат всяких 3 его вершин. Возьмите, скажем, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.

2. Определитесь с планом последующей работы. Предстоит искать координаты точек Q, L, N, W, R пересечения сечения с соответствующими ребрами куба. Для этого придется находить уравнения прямых, содержащих эти ребра, и искать точки пересечения ребер с плоскостью ?. Позже этого последует разбиение пятиугольника QLNWR на треугольники (см. рис. 2) и вычисление пощади всего из них с подмогой свойств векторного произведения. Методология всякий раз одна и та же. Следственно дозволено ограничиться точками Q и L и площадью треугольника ?QLN.

Читайте также:  Чем снять боль в спине при защемлении нерва

3. Направляющий вектор h прямой, содержащий ребро М1М5 (и точку Q), обнаружьте как векторное произведение M1M2= и M2M3=, h==[M1M2? M2M3]. Полученный вектор является направляющим и для всех прочих боковых ребер. Длину ребра куба обнаружьте как, скажем, ?=?( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Если модуль вектора h |h|. то замените его соответствующим коллинеарным вектором s==(h/|h|)?. Сейчас запишите уравнение прямой, содержащей М1М5 параметрически (см. рис. 3). Позже подстановки соответствующих выражений в уравнение секущей плоскости получите А(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Определите t, подставьте в уравнения для М1М5 и запишите координаты точки Q(qx, qy, qz) (рис. 3).

4. Видимо, что точка М5 имеет координаты М5(x1+m, y1+n, z1+p). Направляющий вектор для прямой, содержащей ребро М5М8 совпадает с М2М3=. После этого повторите предыдущие рассуждения касательно точки L(lx, ly, lz) (см. рис. 4). Все последующее, для N(nx, ny, nz) – точная копия это шага.

5. Запишите векторы QL= и QN=. Геометрический толк их векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах. Следственно площадь ?QLN S1=(1/2)|[QL? QN]|. Следуйте предложенной методике и вычислите площади треугольников ?QNW и ?QWR – S1 и S2. Векторное произведение комфортнее каждого находить с поддержкой вектора-определителя (см. рис. 5). Запишите окончательный результат S=S1+S2+S3.

Призма — это многогранник с двумя параллельными основаниями и боковыми гранями в форме параллелограмма и в числе, равном числу сторон многоугольника основания.

1. В произвольной призме боковые ребра расположены под углом к плоскости основания. Частным случаем является прямая призма. В ней боковые стороны лежат в плоскостях, перпендикулярных основаниям. В прямой призме боковые грани — прямоугольники, а боковые ребра равны высоте призмы.

2. Диагональное сечение призмы — часть плоскости, всецело заключенная во внутреннем пространстве многогранника. Диагональное сечение может быть ограничено двумя боковыми ребрами геометрического тела и диагоналями оснований. Видимо, что число допустимых диагональных сечений при этом определяется числом диагоналей в многоугольнике основания.

3. Либо границами диагонального сечения могут служить диагонали боковых граней и противоположные стороны оснований призмы. Диагональное сечение прямоугольной призмы имеет форму прямоугольника. В всеобщем случае произвольной призмы форма диагонального сечения – параллелограмм.

4. В прямоугольной призме площадь диагонального сечения S определяется по формулам:S=d*Hгде d — диагональ основания, H — высота призмы.Либо S=a*Dгде а — сторона основания, принадлежащая единовременно плоскости сечения, D — диагональ боковой грани.

5. В произвольной непрямой призме диагональное сечение — параллелограмм, одна сторона которого равна боковому ребру призмы, иная – диагонали основания. Либо сторонами диагонального сечения могут быть диагонали боковых граней и стороны оснований между вершинами призмы, откуда проведены диагонали боковых поверхностей. Площадь параллелограмма S определяется формулой: S=d*hгде d — диагональ основания призмы, h — высота параллелограмма — диагонального сечения призмы.Либо S=a*hгде а — сторона основания призмы, являющаяся и рубежом диагонального сечения, h — высота параллелограмма.

6. Для определения высоты диагонального сечения неудовлетворительно знать линейные размеры призмы. Нужны данные о наклоне призмы к плоскости основания. Последующая задача сводится к ступенчатому решению нескольких треугольников в зависимости от начальных данных об углах между элементами призмы.

источник

9 июня 8-часовой тренинг ЕГЭ по биологии и информатике за 149 рублей.

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

− Examer из Таганрога;
− Учитель Думбадзе
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1, так, что сечение — ромб. Найдите площадь сечения, если AB = 3, BC = 2 и AA1 = 5.

Сразу заметим, что раз сечение четырехугольник, то оно должно пересекать два ребра параллелепипеда. Кроме того, поскольку диагонали ромба перпендикулярны, вершины сечения должны лежать в плоскости, проходящей через центр параллелепипеда перпендикулярно

Если эти вершины лежат на ребрах то диагонали ромба равны и откуда его площадь Действительно, одна из диагоналей ромба является диагональю параллелепипеда: Чтобы найти вторую диагональ, решим уравнение (это теорема Пифагора, дающая квадрат стороны ромба, примененная к треугольникам ABQ и CBQ, где Q — вершина ромба, лежащая на ребре BB1). Находим: применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AOQ, где О — точка пересечения диагоналей ромба, получаем: откуда вторая диагональ ромба равна

Если же они лежат на ребрах и то расстояние от вершины до одной из них не меньше а до другой — не больше поэтому сечение не может быть ромбом. Аналогично разбирается случай ребер и

Ответ:

источник

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относиться 2:1 , а диагональные сечения есть квадрат с площадью 25. Найти объем параллелепипеда?

Обозначим стороны основания параллелепипеда как a и b, сторону диагонального сечения как c, а высоту параллелепипеда как h.

Запишем условия задачи математически:

a = x — обозначим размер одной стороны как x.
Условие «отношение сторон есть 2:1» можно записать в виде:
b = 2*a

Подставив x получаем:
b = 2*x

Площадь квадратного сечения можно представить так:
c * c = 25

Откуда мы сразу же получаем значение для стороны сечения:
c = 5.

К тому же, можно заметить, что h = c, т.к. сечение параллелепипеда есть квадрат!

Вспомним формулу для объема параллелепипеда:
V = a * b * h

Подставим в формулу значения:

Чтобы на основе найденных значений мы получили a и b, рассмотрим как связаны между собой a, b и c.

Эти три отрезка образуют прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (потому что наш параллелепипед прямоугольный, а значит угол между отрезками a и b равен 90 градусов).

Составим уравнение по теореме Пифагора:

Теперь подставим для всех сторон соответствующие значения:

Решать это уравнение дальше нам не нужно, так как в формуле для объёма у нас есть !

Просто подставляем найденное значение в формулу объёма и получаем ответ:

источник

§ 7. Параллелепипеды и призмы.

1. Определить диагонали прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям: 1) 1; 2; 2; 2) 2; 3; 6; 3) 6; 6; 7; 4) 8; 9; 12; 5) 12; 16; 21.

2. 1) Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны основания равны 6 м и 8 м и одна из диагоналей основания равна 12 м. Определить диагонали параллелепипеда.

2) В предыдущей задаче заменить данные числа по порядку следующими: 9 см, 7 см, 11 см и 14 см.

3. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда с плоскостью основания составляет угол в 60°. Определить диагонали параллелепипеда.

4. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 см и 5 см; расстояние между меньшими из них 4 см; боковое ребро равно 2√ 2 см. Определить диагонали параллелепипеда.

5. Определить диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.

6. 1) В прямом параллелепипеде стороны основания длиной 3 см и 4 см составляют угол в 60°, а боковое ребро есть средняя пропорциональная между сторонами основания. Определить диагонали этого параллелепипеда.

2) В прямом параллелепипеде рёбра, выходящие из одной вершины, равны 1 м, 2 м и 3 м, причём два меньших образуют угол в 60°. Определить диагонали этого параллелепипеда.

7. Ребро куба равно а. Определить расстояние от вершины куба до его диагонали.

8. Ребро куба равно а. Найти кратчайшее расстояние от диагонали до непересекающего её ребра.

9. Доказать, что во всяком параллелепипеде сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех рёбер.

10. 1) В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда равна 8 дм. Определить площадь диагонального сечения.

2) В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро равно 5 см, площадь диагонального сечения 205 см 2 и площадь основания 360 см 2 . Определить стороны основания.

11. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Определить площади диагональных сечений.

12. В прямом параллелепипеде стороны основания 17 см и 28 см; одна из диагоналей основания равна 25 см; сумма площадей диагональных сечений относится к площади основания, как 16:15. Определить площади диагональных сечений.

13. В прямом параллелепипеде с основанием ABCD дано: АВ=29 см, AD = 36 см, BD = 25 см и боковое ребро равно 48 см. Определить площадь сечения AB1С1D.

14. В прямом параллелепипеде острый угол основания содержит α°; одна из сторон основания равна а; сечение, проведённое через эту сторону и противоположное ей ребро, имеет площадь Q и образует с плоскостью основания угол 90° — α°. Определить другую сторону основания.

15. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD, в котором / BAD = 60°; боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом в 60°, и плоскость АА1С1С перпендикулярна к плоскости основания. Доказать, что площади сечений BB1D1D и АА1С1С относятся как 2 : 3.

16. (Устно.) Сколько диагоналей можно провести в четырёхугольной призме? в пятиугольной? в треугольной? в n-угольной?

17. (Устно.) Сколько плоских углов в пятиугольной призме? сколько двугранных? сколько трёхгранных?

18. (Устно.) 1) Какие фигуры представляют собой диагональные сечения параллелепипеда? 2) Сколько диагональных сечений можно провести в пятиугольной призме через одно её ребро? 3) На сколько частей эти плоскости (вопрос 2) делят данную призму? 4) Какое тело представляет каждая из этих частей (вопросы 2 и 3)?

19. (Устно.) Сколько диагональных сечений можно провести в n-угольной призме через все её боковые рёбра?

Читайте также:  Как сделать скрипку своими руками из картона

20. 1) В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 144 см 2 , a высота равна 14 см. Определить диагональ этой призмы.

2) Определить диагональ правильной четырёхугольной призмы, если диагональ основания равна 8 см, а диагональ боковой грани равна 7 см.

21. Если в правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали B1D и D1B взаимно перпендикулярны, то диагонали А1С и B1D образуют угол в 60°. Доказать.

22. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой грани равна Q. Определить площадь диагонального сечения.

23. Основанием призмы служит правильный шестиугольник со стороной а; боковые грани — квадраты. Определить диагонали этой призмы и площади её диагональных сечений.

24. Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани —квадраты, провести плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Определить площадь сечения.

25. Каждое ребро правильной треугольной призмы а = 3м. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти площадь сечения.

26. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 15; высота равна 20. Найти кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей её диагонали призмы.

27. Квадрат с проведённой в нём диагональю свёрнут в виде боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, и, таким образом, диагональ квадрата обратилась в ломаную линию (не плоскую). Определить угол между смежными её отрезками (черт. 18).

28. В прямой треугольной призме через одну из сторон основания проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро и отклонённая от плоскости основания на 45°. Площадь основания равна Q. Определить площадь сечения.

29. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Определить площадь сечения, проведённого через боковое ребро и меньшую высоту основания.

30. Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы равны 8 см и 5 см; высота 2 см. Найти сторону основания.

31. Боковое ребро l =15 см наклонной призмы наклонено к плоскости основания под углом α = 30°. Определить высоту призмы.

32. В треугольной призме (наклонной) из двугранных углов между боковыми гранямидва содержат: 20°43’28» и 105°27’32». Чему равен третий угол?

33. В треугольной призме (наклонной) расстояния между боковыми рёбрами 37 см, 13 см и 40 см. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

источник

В прямоугольном параллелепипеде
основание ABCD- квадрат, точка К делит отрезок AC в отношении 1:3, считая от вершины А.

а) Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью, содержащей точку К и перпендикулярной плоскостям (АВС)
и AA1C. Построение обоснуйте.

б) Найдите площадь полученного
сечения, если ВС=4, AC1 = 4 корень из 6.

В прямоугольном параллелепипеде
боковая грань DD1C1C — квадрат, точка М
делит отрезок D1Cв отношении 1:5, считая от вершины D1.

а) Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью, содержащей точку М и перпендикулярной плоскостям BCD1 и DCC1. Построение обоснуйте.

б) Найдите площадь полученного
сечения, если DD1 = 6, BD1 = корень из 88.

1a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно диагональные сечения этого параллелепипеда также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны основаниям, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку К параллельно диагональному сечению ВВ1D1D и представляет собой прямоугольник.
1б) АС=BD =4√2 (диагонали квадрата со стороной 4).
АК:КС=1:3, значит АК=(1/4)*АС=(1/2)*АО. Тогда в треугольнике ABD отрезок EF — средняя линия и равен (1/2)*BD. Или EF=2√2.
В прямоугольном треугольнике АС1С гипотенуза АС1=4√6 (дано), катет
АС=4√2. Значит высота параллелепипеда равна СС1=√(96-32)=8. FG=CC1=8.
Тогда площадь сечения равна EF*FG=2*8=16√2 ед².
2a) В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно сечения этого параллелепипеда, проходящие через диагонали боковых граней АА1В1В и DD1С1 также взаимно перпендикулярны и перпендикулярны этим боковым граням, так как параллелепипед прямоугольный. Следовательно, искомое сечение EFGH будет проходить через точку М параллельно сечению ADC1B1 и представляет собой прямоугольник.

2б) D1С=DC1 =6√2 (диагонали квадрата со стороной 6).
D1M:MС=1:5, значит D1M=(1/6)*D1С=(1/3)*D1О. Тогда треугольники DDC1 и ED1H подобны с коэффициентом подобия 1/3 и отрезок EH равен (1/3)*DС1. Или EН=(1/3)*6√2=2√2.
В прямоугольном треугольнике BD1D гипотенуза BD1=√88 (дано), катет
DD1=6. Значит диагональ основания параллелепипеда по Пифагору равна BD=√(88-36)=√52. Тогда AD=√(BD²-AB²)= √(52-36)=4. EF=AD=4.
Площадь сечения равна EF*EH=4*2√2=8√2 ед².

источник

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся, как k: n, а площадь диагонального сечения , перпендикулярного основанию, равна S. [16]

Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см, диагональ 5 см. Найти площадь диагонального сечения . [17]

Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 4 см, диагональ равна 5 см. Найти площадь диагонального сечения , перпендикулярного к основаниям. [18]

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 14 см, а длина бокового ребра 10 см. Определить площадь диагонального сечения . [19]

В правильной четырехугольной пирамиде длина стороны основания равна 14 см, а длина бокового ребра — 10 см. Найдите площадь диагонального сечения . [20]

Графики функции L ( a ] для различных значений параметра ГП2 представлены сплошными линиями на рис. 8.6. Штриховыми линиями на рисунке показаны зависимости площади S диагонального сечения впадины изношенной поверхности от параметра а при различных значениях гл. [22]

Длины сторон основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 10 и 2 см, длина бокового ребра равна 9 см. Найдите: а) высоту этой усеченной пирамиды; б) площадь сечения, проходящего через середины ребер данной усеченной пирамиды; в) площадь диагонального сечения . [23]

Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений этой призмы равны Р и Q. [24]

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений , перпендикулярных основаниям, равны М и N. [25]

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений , перпендикулярных к основаниям, равны М и N. [26]

Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений этой призмы равны Р и Q. [27]

Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Площадь диагонального сечения , проведенного через меньшую диагональ, равна Q. [28]

Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений этой призмы равны Р и Q. [29]

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q. Площади диагональных сечений равны Si и S. [30]

источник

задан 9 Ноя ’13 22:05

serg55
7.0k ● 28 ● 140
95&#037 принятых

В качестве диагонали параллелепипеда рассматриваем $%D_1B$% , а диагональю основания будет $%AC.$% Проведем отрезок $%MO$%-серединная линия тругольника $%D_1DB. OM||BD_1\Rightarrow (AMC)||BD_1.$% Расстояние $%BD_1$% от $%AC$% равно расстоянию $%BD_1$% от плоскости $% AMC. D_1M=DM\Rightarrow $% точки $%D$% и $%D_1$% равноудалены от плоскости $% AMC.$% Значит расстояние точки $% D $% от плоскости $% AMC $% равно $% L.$%

Пусть $%DH\perp AC,$% тогда по теореме о трех перпендикулярах $%MH\perp AC \Rightarrow AC\perp (MHD)\Rightarrow (AMC)\perp(MHD), (AMC)\cap(MHD)=MH.$% И так перпендикуляр $%DQ\perp MH$% и есть расстояние от $% D$% до плоскости $% AMC $%, значит $% DQ=L. $%

Пусть отрезок $%EF||AC, $% и проходит через серединную точку $%N$% ортезка $% BD_1 (E\in AA_1,F \in CC_1).$%

$%D_1EBF-$% искомое сечение. $%(D_1EBF)\cap (ABC)=l, (B \in l). EF|| AC\Rightarrow EF||l ||AC.$% $%DH\cap l=P, DP\perp l$% по теореме о трех перпендикулярах $%D_1P \perp l, \angle D_1PD=\angle MHD=60^0, \angle MOD=\angle D_1BD=30^0.$%

В прямоугольном треугольнике $%DQH, DH=\frac=\frac<2L><\sqrt3>$%

В прямоугольном треугольнике $%DMH, MD=DHtg60^0=2L$%

В прямоугольном треугольнике $%MDO, OD=DM ctg30^0=2L\sqrt3\Rightarrow BD=4L\sqrt3$%

В прямоугольном треугольнике $%DOH, sin\angle DOH=\frac=\frac13$%

отвечен 10 Ноя ’13 0:36

Пусть $%ABCD$% — нижнее основание, $%A_1B_1C_1D_1$% — верхнее. В качестве диагонали параллелепипеда рассматриваем $%AC_1$%, а диагональю основания будет $%BD$%. Через точку $%A$% проведём прямую, параллельную $%BD$% до её пересечения с $%BC$% в точке $%B_2$% и c $%DC$% в точке $%D_2$%. (Можно сделать отдельный рисунок в плоскости основания.) Очевидно, что $%B_2B=BC$%, $%D_2D=DC$%.

Теперь соединим $%B_2$% и $%D_2$% с точкой $%C_1$% в соответствующих гранях. Пересечение прямой $%B_2C_1$% с ребром $%BB_1$% обозначим через $%B_3$%, а пересечение $%D_2C_1$% с ребром $%DD_1$% — через $%D_3$%. Легко видеть, что точки пересечения будут серединами рёбер, и параллелограмм $%AB_3C_1D_3$% есть искомое сечение.

Заметим, что плоскость сечения образует угол $%60^<\circ>$% с плоскостью основания, а перпендикулярная проекция сечения на эту плоскость совпадает с основанием. Поэтому площадь сечения равна площади основания делённой на $%\cos60^<\circ>=1/2$%. Достаточно теперь найти площадь основания и умножить её на два, получая площадь сечения.

Опустим из точки $%B$% в плоскости основания перпендикуляр с основанием $%B’$% на прямую $%B_2D_2$%. Поскольку отрезок $%B_3B$% перпендикулярен плоскости основания, он будет перпендикулярен прямой $%B_2D_2$%, и ей же перпендикулярен отрезок $%BB’$%. Значит, прямая $%B_2D_2$% перпендикулярна плоскости $%BB’B_3$%. То есть мы получили перпендикулярное сечение двугранного угла между плоскостями, и по условию угол $%BB’B_3$% равен $%60$% градусам. (Для этого треугольника также полезно сделать отдельный чертёж.) Если мы теперь опустим высоту $%BH$% из точки $%B$% в этом треугольнике, то окажется, что расстояние $%BH$% равно $%L$%. Действительно, $%BH$% перпендикулярна прямой $%B’B_3$%, а также прямой $%AB’$%, то есть перпендикулярна плоскости сечения, и поэтому $%H$% есть перпендикулярная проекция точки $%B$% на плоскость сечения. При этом точка $%B$% принадлежит диагонали основания, параллельной плоскости сечения. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми, равное $%L$%, как раз и есть расстояние от $%B$% до плоскости сечения.

Теперь найдём все интересующие нас расстояния из треугольника $%BB’B_3$%. Ясно, что $%BB_3=2L$%, откуда боковое ребро параллелепипеда равно $%4L$%, а диагональ основания равна $%4L<\mathop<\,\rm ctg\ >>30^<\circ>=4\sqrt3L$%. Также из треугольника $%BB’B_3$% видно, что $%BB’=2L/\sqrt3$%, но эта длина равна расстоянию от $%A$% до $%BD$%. Из этих соображений, площадь прямоугольника $%ABCD$% равна $%BD\cdot BB’=4\sqrt3L\cdot 2L/\sqrt3=8L^2$%. Площадь сечения вдвое больше, то есть она равна $%16L^2$%.

источник